¿Por qué algunas simetrías son invisibles para el espacio de configuración Lagrangiano L(q,q˙,t)L(q,q˙,t)L(q, \dot q,t)?

Por lo general, cuando las personas hablan de lagrangianos, se refieren a una función de las variables del espacio de configuración.$q_i$y sus derivadas temporales$\dot q_i$. Esta es una función$L = L(q_i, \dot q_i,t)$. Sin embargo, existe otra noción del Lagrangiano, el "Hamiltoniano Lagrangiano", que también es una función de$p_i$.

$$L_H(q_i, \dot q_i, p_i,t) = p_i \dot q_i - H(q_i, p_i,t)$$ El teorema de Noether nos dice que para cada simetría "fuera de la cáscara" de de$L$(estas son transformaciones que cambian$L$por una derivada del tiempo total) tenemos una cantidad conservada. Sin embargo, hay algunas simetrías que solo se pueden ver usando el hamiltoniano lagrangiano$L_H(q_i, \dot q_i, p_i,t)$, y no con el espacio de configuración Lagrangiano$L(q_i, \dot q_i,t)$. Un ejemplo famoso es el escondido$SO(4)$la simetría en el problema de Kepler con da lugar a la conservación del vector Laplace Runge Lenz. Esta simetría aparentemente "confunde" la$q$'arena$p$'s de tal manera que el espacio de configuración Lagrangian no puede capturar.

Así que podríamos decir que las simetrías se mezclan$q_i$y$p_i$no son evidentes en el espacio de configuración Lagrangiana y lo llaman un día. Sin embargo, esta respuesta no tiene mucho sentido después de una inspección más cercana. Por ejemplo, la simetría traslacional del tiempo, generada por la cantidad conservada$H$, ciertamente "se mezcla$q$y$p$y sin embargo está presente en el espacio de configuración lagrangiano en términos de la simetría$q_i \to q_i + \varepsilon \dot q_i$.

Además, considere esto: todas las simetrías "fuera de la cáscara" son simetrías de las ecuaciones de movimiento. (Lo contrario no es cierto.) Esto se debe a que si un camino es estacionario, entonces el camino sujeto a la transformación de simetría también será estacionario, porque la acción del camino y todas las variaciones cercanas permanecerán sin cambios. Por lo tanto, incluso lo oculto$SO(4)$la simetría debe representar una simetría de las ecuaciones de movimiento (probablemente tiene que ver con el cambio de la excentricidad de la órbita) y, por lo tanto, debe poder expresarse como una simetría del espacio de configuración lagrangiano.

Entonces, dicho todo esto, ¿por qué algunas simetrías son invisibles para el espacio de configuración lagrangiano? ¿Existe un criterio sólido para determinar si una simetría es invisible de esta manera?