¿Por qué adoptamos dos enfoques diferentes del "significado de causalidad" en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos?

En mecánica cuántica, trabajamos con una teoría de una sola partícula. Es decir, si detectamos una partícula, sabemos que es nuestra única partícula y nada más. Si esta partícula única aparece en dos eventos con una separación similar al espacio, significa que ha viajado a una distancia superlumínica y nuestra teoría viola la causalidad.

Sin embargo, más adelante nos damos cuenta de que no hay "mecánica cuántica + relatividad" sin la introducción de un número posiblemente infinito de partículas; esto nos obliga a desechar la mecánica cuántica de partículas individuales y, en su lugar, se establecen los cimientos de la teoría cuántica de campos. El operador$\phi(x)$entonces no corresponde a la detección de ninguna partícula única, sino solo a la detección de alguna partícula del conjunto virtualmente infinito de partículas indistinguibles de la QFT.

En otras palabras, encontrar un electrón en la materia que te rodea en la Tierra y al mismo tiempo en la materia de la Luna corresponde a$\langle 0| \psi (x) \psi(y) | 0 \rangle$con$x-y$espacial. Pero eso no significa que el electrón haya saltado a la luna superlumínicamente, es simplemente un electrón diferente.

En consecuencia, debemos relajar nuestras condiciones de causalidad a algo diferente: si realizo alguna medición en el evento$x$, no influirá en la medición en$y$si$x-y$es como un espacio ; encontrar un electrón en la Tierra no influye en encontrarlo en la Luna en el mismo momento. Las medidas que no se influyen mutuamente se conmutan en la mecánica cuántica, por lo que terminamos requiriendo$[\psi(x),\psi(y)] =0$por$x-y$como el espacio.

Hay varios conceptos erróneos en este post. Permítanme abordarlos uno por uno.

En la mecánica cuántica no relativista, se viola la causalidad al decir que la amplitud de propagación de una partícula

$$A=\langle \textbf{x}|\exp{\Big(\frac{-i\textbf{p}^2t}{2m\hslash}}\Big)|\textbf{x}_0\rangle$$ entre dos puntos $\textbf{x},\textbf{x}_0$es distinto de cero para cualquier momento $t$, sin embargo pequeño.

Esto está mal en varios niveles diferentes. En primer lugar, en mecánica no relativista, un proceso es acausal si y solo si su amplitud es distinta de cero para$t<0$. Ya sea que desaparezca o no por$t>0$es irrelevante. De hecho, si$c\equiv \infty$las perturbaciones pueden propagarse infinitamente rápido (cf. la ecuación del calor), y esto no se considera una violación de la causalidad. Este último se viola si y sólo si los efectos se observan antes que su causa, es decir, si la amplitud es distinta de cero para tiempos negativos.

En segundo lugar, su expresión para$A$no es una amplitud de propagación; olvidaste la función de paso (cf. wikipedia )

Ahora puedes ver eso$A$se desvanece por$t<0$, por lo que la amplitud es causal, como se requiere. Hasta aquí todo bien.

Pero esto también es cierto en la teoría cuántica de campos. La amplitud de propagación de una partícula desde un punto del espacio-tiempo$x$a otro punto del espacio-tiempo$y$, dada por

$$A(x,y)=\langle 0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle\neq 0$$ incluso para separaciones similares al espacio.

No esto no es correcto. El objeto$\langle 0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle$no tiene nada que ver con una amplitud de propagación, porque el objeto$\phi(y)|0\rangle$no representa una partícula localizada en$y$. Ya lo sabes . Una (no) desaparición$A(x,y)$no tiene nada que ver con la causalidad.

Por lo tanto, por el argumento anterior, ¿no se viola también aquí la causalidad?

No, porque el primero$A$representa un objeto completamente diferente del segundo$A$. Usa la misma letra si quieres, pero estás tratando con dos objetos diferentes.

Esto se "resuelve" en QFT al decir que no debemos preguntarnos si las partículas pueden propagarse a lo largo de intervalos similares al espacio, sino si una medición en$x$puede afectar una medida$y$si su separación es espacial, y cuando uno calcula$[\phi(x),\phi(y)]$por$(x-y)^2<0$, resulta que el conmutador desaparece. Por lo que se preserva la causalidad.

Esto es algo correcto, pero está lejos de ser toda la historia. Permítanme citar un párrafo del QFT de Weinberg (página 198):

La condición$(5.1.32)$se describe a menudo como una condición de causalidad , porque si$x-y$es similar al espacio, entonces ninguna señal puede alcanzar$y$de$x$, de modo que una medida de$\psi_\ell$en un punto$x$no debe ser capaz de interferir con una medición de$\psi_{\ell'}$o$\psi^\dagger_{\ell'}$en el punto$y$. Tal consideración de causalidad es plausible para el campo electromagnético, cualquiera de cuyos componentes puede medirse en un punto del espacio-tiempo dado, como se muestra en un artículo clásico de Bohr y Rosenfeld. Sin embargo, estaremos tratando aquí con campos como el campo de Dirac del electrón que no se ven en ningún sentido medibles. El punto de vista adoptado aquí es que la Ec.$(5.1.32)$es necesario para la invariancia de Lorentz de la$S$-matriz, sin supuestos auxiliares sobre mensurabilidad o causalidad.

dónde$(5.1.32)\equiv [\psi_\ell(x),\psi_{\ell'}(y)]=[\psi_\ell(x),\psi^\dagger_{\ell'}(y)]=0$por$x-y$como el espacio.

Entonces, mi pregunta es ¿por qué tomamos dos enfoques diferentes del "significado de causalidad" en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos?

Nosotros no. La causalidad es simplemente la afirmación de que el efecto viene después de la causa. En la mecánica no relativista, cada intervalo es similar al tiempo, por lo que solo debe preocuparse por la función de paso. En la mecánica relativista, la velocidad de propagación de todo es finita, por lo que también debe preocuparse por los intervalos similares al espacio. Pero eso es todo.

Si los eventos$x$y$y$están en una separación similar al espacio, entonces no hay una noción invariante de Lorentz de si un evento es anterior al otro, ya que hay transformaciones que invierten su orden temporal.

Hablar por tanto de$\langle \phi(x)\phi(y)\rangle$como la "amplitud para que una partícula se propague desde$x$a$y$" es algo engañoso; al menos en algunos marcos, esta oración no tiene ningún sentido porque$y$es anterior a$x$, y tenderían a mirar más bien$\langle \phi(y)\phi(x)\rangle$. Por lo tanto$\langle \phi(x)\phi(y)\rangle$y$\langle \phi(y)\phi(x)\rangle$describen esencialmente el mismo proceso: la propagación de una partícula entre los puntos$x$y$y$- y solo el conmutador tiene sentido al mirar la suma/diferencia de estas amplitudes.

Mirar solo una de las amplitudes es como mirar solo los diagramas de canal s para algún proceso y sacar todo tipo de conclusiones (erróneas) a partir de eso.