¿Por qué una partícula puede tener una amplitud distinta de cero fuera de su cono de luz delantero?

1. En relatividad especial, el cono de luz define el conjunto de puntos que pueden ser alcanzados por geodésicas nulas que se originan en un punto$^1$. Es esencialmente el límite del conjunto de puntos que se pueden alcanzar mediante curvas temporales. Llamamos temporal a una curva si su vector tangente$u^\mu$se normaliza de la siguiente manera$^{2}$:$u^\mu u^\nu\eta_{\mu\nu}>0$. Los tres principios básicos de la relatividad especial son

1. Las partículas sin masa viajan en curvas nulas.

2. Partículas masivas viajan en curvas temporales.

3. Los taquiones viajan en curvas espaciales y no son físicos .

El cono de luz de la relatividad especial define así el conjunto de puntos que una partícula real puede ocupar en el futuro. Si la amplitud es distinta de cero fuera de este cono, entonces existe la probabilidad de que la partícula se propague a lo largo de una curva con un vector tangente similar al espacio, violando así la relatividad especial.

2. Tal vez su cita es un poco engañosa. Propongo la siguiente reescritura:

Si la amplitud es distinta de cero, habrá una probabilidad distinta de cero de que se encuentre una partícula real fuera de su cono de luz delantero. Esto es inaceptable y significaría la muerte de la teoría cuántica tal como la conocemos hasta ahora.

Si nunca había oído hablar de la teoría cuántica de campos, pero había oído hablar de una pequeña desigualdad

$$\Delta x\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}$$ podría razonar que las trayectorias son un poco "borrosas" y tal vez violan la relatividad especial.

Sin embargo , supongamos que hemos oído hablar de QFT. Demostremos que la amplitud de una partícula virtual es distinta de cero fuera del cono de luz. Para ello tenemos que considerar el propagador de una línea interna de un diagrama de Feynman. El ejemplo canónico aquí es el propagador de Feynman de un campo escalar real. Resolvemos la ecuación

$$-(\Box+m^2)D(x)=\delta^4(x)$$ por el método de las funciones de Green y obtener$^3$ $$D(x)=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^2}\frac{e^{ikx}}{k^2-m^2+i\epsilon}$$ Un cálculo estándar por el método de los residuos conduce a$^4$ $$D(x)=-i\int\frac{d^3k}{(2\pi)^32\omega_k}\left[e^{-i(\omega_kt-\mathbf{k}\cdot\mathbf{x})}\theta(t)+e^{i(\omega_kt-\mathbf{k}\cdot\mathbf{x})}\theta(-t)\right]$$ dónde$\omega_k=\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2}$es la energía en la capa. La interpretación física de$D(x)$es que describe la amplitud para que una partícula viaje desde el origen hasta el punto$x$. Uno encuentra que$^5$ $$D(0,\mathbf{x})\simeq ce^{-mr}$$ dónde$c$es una constante irrelevante.

¡Así que las partículas virtuales violan la relatividad especial! ¿Así que lo que? No son reales y la relatividad especial solo impone restricciones a las partículas reales . Esta propiedad de las partículas virtuales se explica por el principio de incertidumbre.

Entonces, ¿cómo se respeta la causalidad, la relatividad especial y la invariancia de Lorentz en la teoría de campos? La respuesta es probablemente lo suficientemente importante como para ser llamada un teorema.$^6$. Dejar$\mathcal{H}(x)$Sea la densidad hamiltoniana de interacción. Entonces el$S$-la matriz se puede escribir como la serie de Dyson

$$S=\mathcal{T}\exp\left(-i\int d^4x\,\mathcal{H}(x)\right)$$ dónde$\mathcal{T}$denota ordenamiento temporal. Usando el principio de descomposición de cúmulos , podemos escribir la interacción hamiltoniana en términos de campos cuánticos.

Teorema. Todos los campos cuánticos obedecen

$$[\psi_\ell(x),\psi_{\ell'}(y)]_\mp=[\psi_\ell(x),\psi^\dagger_{\ell'}(y)]_\mp=0$$ para$(x-y)$espacial. El$-$se cumple para bosones y$+$por fermiones.

Puede verificar (laboriosamente) que sus expansiones en modo estándar obedecen este teorema.

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$^1$En la relatividad general, sin embargo, esto solo es localmente cierto y depende además de la topología del espacio-tiempo. Véase, por ejemplo, Wald, General Relativity (1984).

$^2$Aquí estoy usando el$(+--\,-)$convención.

$^3$Ver, por ejemplo, esta publicación de Phys SE.

$^4$Véase, por ejemplo, Cahill, Physical Mathematics (2013), pág. 201.

$^5$El cálculo completo se encuentra en Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell (2010, 2nd Ed.), p. 545.

$^6$Véase, por ejemplo, Weinberg, The Quantum Theory of Fields (1995). No puedo precisar una página específica porque la prueba está manchada en los capítulos 3, 4 y 5.

Ha abordado la respuesta con su primera pregunta: el cono de luz frontal de una partícula describe todas las coordenadas del espacio-tiempo a las que podría viajar un fotón emitido por la partícula. Tenga en cuenta que este es un cono 4D; el componente 3D es una esfera y se expande a lo largo de la dimensión del tiempo.

Así que digamos que en este momento exacto está explotando una supernova en la Galaxia de Andrómeda. Esa galaxia está a 2,5 millones de años luz de distancia, lo que significa que tú y yo no estamos en su cono de luz delantero; la luz de la supernova eventualmente alcanzará nuestra ubicación en el espacio, pero brillará "más allá" de nosotros en el tiempo, ya que en 2,5 millones de años nosotros dos (probablemente) no estaremos aquí.

Ahora veamos algo de materia expulsada por la supernova: digamos helio atómico, así que tienes un núcleo con dos electrones a su alrededor. Los electrones, tal como los entendemos, no suelen tener una ubicación, pero podemos describir una nube de probabilidad de dónde podríamos encontrarlos si los midiéramos y buscáramos. Esa nube de probabilidad es técnicamente ilimitada: no hay ninguna razón particular por la que no busquemos un electrón a varios pies de distancia del núcleo (una distancia enorme en términos atómicos), aunque sería muy poco probable.

Así que tomamos una medida cerca del núcleo y encontramos el electrón, y segundos después volvemos a medir a unos metros de distancia y encontramos el electrón de nuevo. ¡Asombroso! Las probabilidades estaban astronómicamente en nuestra contra para ese resultado, pero aún era posible y sucedió por casualidad. Ahora digamos que unos segundos más tarde nuestros colegas en la Vía Láctea (recuerden, estamos en Andrómeda cerca de la supernova) miden el electrón. Dije antes que la nube de probabilidad para el electrón es técnicamente ilimitada, por lo que debería haber una posibilidad con un gran exponente negativo de que nuestros colegas encuentren nuestro electrón cerca de ellos, ¿verdad?

La respuesta aquí es no. Mientras que la nube de probabilidad (la amplitud, en su literatura) es distinta de cero en todo el espacio, también debe considerar el tiempo: el ejemplo más obvio es que el electrón no puede existir en ningún punto arbitrario del espacio antes de existir; y cuando existe, se mueve con una velocidad finita y, por lo tanto, requiere tiempo para moverse de un lugar a otro. Lo más pronto que el electrón tendría una probabilidad distinta de cero de encontrarse en la Vía Láctea sería 2,5 millones de años, y eventualmente todo el universo visible tendrá tal probabilidad. Simplemente no ahora.

En otras palabras, una partícula que aparece fuera de su cono de luz delantero es sinónimo de que viaja más rápido que la luz... y es por eso que su libro afirma que esto es "inaceptable".

Si no estuvieras haciendo mecánica cuántica, tu partícula tendría su masa$m$, energía$E$y el impulso$\vec{p}$satisfacer la siguiente condición:

$$E^2=(c\vec{p})^2+(c^2m)^2$$

y el cuatro vector$(E,c\vec{p})$apuntaría tangente al movimiento de la partícula a través del espacio-tiempo. Entonces, el hecho de que la partícula tenga una masa real obliga al movimiento a estar dentro del cono de luz hacia adelante.

En la mecánica cuántica, por lo general, no se modela una partícula como una partícula simple con una trayectoria, y es prácticamente inaudito hacerlo en la teoría cuántica de campos. Pero aún puede considerar estados con impulso y energía. Los estados con la energía y la cantidad de movimiento que satisfacen

$$E^2=(c\vec{p})^2+(c^2m)^2$$

se denominan on-shell . Y creo que es mejor imaginarlos como estados estables, en el sentido de que pueden moverse a través del vacío con cambios mínimos (digamos solo una fase). Más correctamente, son similares a los estados previos a la segunda cuantificación o estados propios de partículas libres. A menudo, estos son los estados asintóticos (en el espacio y el tiempo), como si estuviera haciendo dispersión para calcular los elementos de la matriz S.

Entonces, en general, puede pensar en ellos como estables cuando no pasa nada, se llevan bien con la aspiradora.

Pero, a diferencia de la física clásica, no requerimos que la energía y el momento asociados con una partícula no asintótica no libre estén en la capa . Y cuando calculamos la amplitud de probabilidad, en lugar de insistir en que todo esté en el caparazón, podríamos calcular dar un factor como:

$$\frac{1}{E^2-(c\vec{p})^2-(c^2m)^2-iq}.$$

¿Cuál es mayor (en magnitud) cuando$E^2=(c\vec{p})^2+(c^2m)^2$, pero definitivamente puede tener$E^2-(c\vec{p})^2\neq (c^2m)^2$. Estos "estados" están fuera de la cáscara pero no son libres, no son estados de entrada, no son estados de salida, no son asintóticos y siempre van juntos, son "partículas virtuales" si quieres pensar en ellos como partículas, y ellas por definición sólo existen dentro de un cálculo, hay todo un continuo de ellas. Realmente no querrías tomar su "movimiento" demasiado literalmente, incluso si te gusta pensar en el movimiento de las partículas cuánticas.

La verdadera lata de gusanos es que si detectas algo tienes que interactuar con él, y si interactúas, lo que estás interactuando no es una partícula libre, por lo que las partículas virtuales están realmente involucradas en cualquier detector. Pero a menos que esté realmente cerca de la concha, la amplitud será ridículamente pequeña. Y es difícil saber exactamente a dónde fue una vez que tiene un detector, ya que el detector en sí tiene algo de dispersión, por lo que la vaguedad evita que sea un problema.