¿Es suficiente la conmutación de todos los operadores posibles para identificar un intervalo similar al espacio?

Question

¿Es suficiente la conmutación de todos los operadores posibles para identificar un intervalo similar al espacio?

usuario12262

Se ha afirmado (p. ej . aquí ) y aparentemente ya se ha establecido, que el intervalo $x - y$ ser (llamado) "similar al espacio" implica que $\bigl[\hat O (x),\, \hat O' (y)\bigr]=0$ para dos operadores cualesquiera (no necesariamente distintos) $\hat O$ y $\hat O'$ correspondientes a observables físicos evaluados en $x$ o en $y$ , respectivamente:

espacial (X - y) ⟹ (\forall \hat{O} \forall {\hat{O}}^{'} : [\hat{O} (X), {\hat{O}}^{'} (y)] = 0) .

$\text{spacelike}( \, x - y \, ) \quad\implies\quad \Bigl( \forall \hat O \, \forall \hat O': \Bigl[\hat O (x),\, \hat O' (y)\Bigr] = 0 \Bigr).$

¿Es correcto también lo contrario, que los conmutadores que desaparecen implican (o son suficientes para) el intervalo $x - y$ ser (llamado) "espacial":

(\forall \hat{O} \forall {\hat{O}}^{'} : [\hat{O} (X), {\hat{O}}^{'} (y)] = 0) ⟹ espacial (X - y) ?

$\Bigl(\forall \hat O \, \forall \hat O': \Big[\hat O (x),\, \hat O' (y)\Bigr] = 0 \Bigr) \quad\implies\quad \text{spacelike}( \, x - y \, ) \, ?$

usuario10001

Suponer

x

$x$ ,

y

$y$ ser temporal separado. A partir de la suposición de que todos los campos en

x

$x$ conmutar con todos los campos en

y

$y$ , seguirá que todos los campos en

Λ x

$\Lambda x$ viajará con todos los campos en

Λ y

$\Lambda y$ (dónde

Λ

$\Lambda$ es cualquier transformación de Poincaré). Si asume covarianza bajo escala

x \to a x

$x\rightarrow ax$ también entonces (a partir de la suposición anterior) puede probar un resultado más fuerte de que los campos en dos puntos separados en el tiempo se conmutarán. Entonces, al menos para una teoría covariante de escala no trivial, todos los campos en dos puntos separados en el tiempo no pueden conmutar.

usuario12262

@dushya: Al tratar de seguir su argumento, me pregunto si puede haber un error tipográfico, especialmente en la oración final. Seguramente, si todos los (pares de) operadores conmutan para todos los (pares de) argumentos, entonces mi pregunta no tendría sentido. ¿Pero lo hacen?

usuario10001

@ use12262 Quise decir si (para dos puntos separados temporales dados

x

$x$ , y

y

$y$ ) todos los campos en

x

$x$ conmutar con todos los campos en

y

$y$ , y si su teoría tiene una covarianza de escala (además de la covarianza de Poincare), entonces (se puede demostrar que) los campos correspondientes a dos puntos separados en el tiempo se conmutarán.

usuario12262

@dushya: ¿La respuesta de Arnold Neumaier (ahora también) expresa lo que quiere decir? (Supongo que sí; y si es así, considere mi comentario allí).

Respuestas (3)

¿Es suficiente la conmutación de todos los operadores posibles para identificar un intervalo similar al espacio?

Suponer $x$ , $y$ ser temporal separado. A partir de la suposición de que todos los campos en $x$ conmutar con todos los campos en $y$ , seguirá que todos los campos en $\Lambda x$ viajará con todos los campos en $\Lambda y$ (dónde $\Lambda$ es cualquier transformación de Poincaré). Si asume covarianza bajo escala $x\rightarrow ax$ también entonces (a partir de la suposición anterior) puede probar un resultado más fuerte de que los campos en dos puntos separados en el tiempo se conmutarán. Entonces, al menos para una teoría covariante de escala no trivial, todos los campos en dos puntos separados en el tiempo no pueden conmutar.
@dushya: Al tratar de seguir su argumento, me pregunto si puede haber un error tipográfico, especialmente en la oración final. Seguramente, si todos los (pares de) operadores conmutan para todos los (pares de) argumentos, entonces mi pregunta no tendría sentido. ¿Pero lo hacen?
@ use12262 Quise decir si (para dos puntos separados temporales dados $x$ , y $y$ ) todos los campos en $x$ conmutar con todos los campos en $y$ , y si su teoría tiene una covarianza de escala (además de la covarianza de Poincare), entonces (se puede demostrar que) los campos correspondientes a dos puntos separados en el tiempo se conmutarán.
@dushya: ¿La respuesta de Arnold Neumaier (ahora también) expresa lo que quiere decir? (Supongo que sí; y si es así, considere mi comentario allí).

Diego Mazón · Answer 1

Diego Mazón

Hasta donde yo sé, todas las teorías cuánticas tienen observables incompatibles (es decir, sus conmutadores correspondientes no desaparecen mientras los puntos del espacio-tiempo en los que se evalúan estén causalmente relacionados), por lo tanto, si en dos puntos dados cada par de los observables conmutan, entonces estos dos puntos están separados por un intervalo similar al espacio. En realidad, esta debería ser la forma intrínseca en la que uno define el cono de luz en una teoría cuántica de campos (las teorías cuánticas que no tienen observables locales son quizás sutiles en este tema e ignoro cómo, si es posible, uno puede definir el cono de luz). de manera intrínseca en estas teorías).

Así que sí, parece que la implicación funciona en ambos sentidos.

usuario12262

@drake: Gracias, me alegro de tu respuesta y de que aprecies la pregunta para una definición en términos de nociones intrínsecas . Tendré que pensar si y cómo cuestionar más su respuesta que había sido aceptada allí: physics.stackexchange.com/question/36178 (especialmente con respecto a la posibilidad de que los valores del "índice de refracción" difieran de la unidad).

Diego Mazón

@ user12262 De nada. El índice de refracción puede aumentar la velocidad de fase, no la propagación de la velocidad de la información. Consulte physics.stackexchange.com/questions/34214/lambda-frac2hp/… (ahí mi respuesta es totalmente correcta, independientemente de que no tenga ningún voto a favor)

usuario12262

@drake: Si bien me gustó tu respuesta, tu comentario me da que pensar... ¿Estás de acuerdo en que por tu respuesta se establece que

\forall \hat{O} \forall {\hat{O}}^{'} ([\hat{O} (x), {\hat{O}}^{'} (y)] = 0) ⟺ spacelike (x - y)

$\forall \hat O \, \forall \hat O' \Bigl( \Big[\hat O (x),\, \hat O' (y)\Bigr] = 0 \Bigr) \Longleftrightarrow \text{spacelike}( \, x - y \, )$ ? Si es así, expresaré mejor mis reservas en una pregunta adecuada (de seguimiento), que sin embargo puede tomar un momento para formular. PD: encuentro tu respuesta en physics.stackexchange.com/a/34214/10552 apropiada allí, pero me resulta difícil relacionarla con esto: physics.stackexchange.com/a/36178/10552

Diego Mazón

@ user12262 1) Sí, supongo que mi respuesta implica eso. 2) Esas respuestas no están relacionadas. Enlacé el primero para que veas cómo el índice de refracción puede afectar la noción diferente de la velocidad de la onda.

usuario12262

@drake: (1) ¡Genial! Y esto hace que tu respuesta sea aceptable para mí. (Divulgación completa: no consideré ningún otro mérito de esta u otras respuestas que se proporcionaron aquí. Acabo de encontrar la respuesta de Arnold Neumaier a continuación ... lo que puede tener implicaciones para su respuesta allí: physics.stackexchange.com/a /36178/10552 )

usuario12262

@drake: (2) Ambas respuestas suyas ciertamente comparten terminología (" velocidad de grupo ", etc.) En mi primer comentario anterior, me había referido al "índice de refracción" en un sentido general, incluido el "índice de refracción de velocidad de fase" o "velocidad de grupo índice de refracción" o "índice de refracción de velocidad frontal" o "índice de refracción de velocidad de señal"; cualquiera que sea aplicable.

usuario12262

@drake: (3) Su respuesta aceptada anteriormente también señala la posibilidad de " definir el cono de luz " basado en la noción ahora establecida de "

spacelikeness

$\text{spacelikeness}$ "(modifique una consideración más detallada de la contribución de Arnold Neumaier a continuación). Esperaba que esto se demostrara fácilmente (como un lema a la pregunta real que había prometido anteriormente), pero ahora lo encuentro bastante desafiante. Por lo tanto, he preguntado esto por separado en physics.stackexchange.com/a/37713/12262 donde también tengo la intención de enviar una respuesta.

Diego Mazón

@ user12262 Lo siento, solo estoy familiarizado con un índice de refracción, a saber: frecuencia sobre el número de onda.

usuario12262

@drake: Bueno, ¿no estás familiarizado con en.wikipedia.org/wiki/Refractive_index#Group_index ? ¿No está familiarizado con el concepto, o simplemente se opuso a mí, tal vez inapropiadamente llamándolo "índice de refracción de velocidad de grupo" (si es lo último, me corrijo, y mejor escribo en consecuencia "índice frontal" e "índice de señal", también). )

Diego Mazón

@ user12262 Es la primera vez que escucho esa terminología, sinceramente. ¿Está entonces afirmando o sugiriendo que hay ondas cuya velocidad de señal en algún material es mayor que

c

$c$ (velocidad de la luz en el vacío)? En caso afirmativo, proporcione una referencia. Sería difícil de creer y estaría muy interesado en saberlo.

usuario12262

Primero: ¿aceptó que la velocidad del grupo o la velocidad frontal nunca es greatermás que la velocidad de la señal ? O en general: ¿ la señalización por grupo o la señalización por frente nunca es fastermás que señalización (en general) ? (¿Y la fase sobre la que no discutimos?) Entonces afirmo: la señalización por la luz nunca es fastermás que la señalización (en general) . En caso de igualdad se puede hablar de " vacío " wrt. lo que entiendas por " luz ", si no " señal (en general) ". Por cierto, hay physics.stackexchange.com/a/35942/10552Apenas se menciona el " vacío " o no. Reivindico =como tú lo haces, pero <donde me sugeriste >.

Virgo · Answer 2

No, cualquier operador que pueda medirse simultáneamente en la mecánica cuántica conmutará, por ejemplo, dos componentes diferentes de un campo eléctrico, estos conmutarán en una separación no espacial, excluyendo los efectos electrón-positrón.

Arnold Neumaier · Answer 3

El significado de las reglas de conmutación causal $[O_1(x),O_2(y)] = 0$ si $x$ y $y$ están separados como el espacio es que los pares de campos se pueden preparar de forma independiente al mismo tiempo, con el tiempo interpretado en el marco de referencia de un observador arbitrario.

La afirmación en su pregunta inversa no es cierta en las teorías conformes en una dimensión uniforme, donde, como una forma del principio de Huyghen, los campos (necesariamente sin masa) conmutan en una separación espacial y temporal.

Por otro lado, la covarianza de Poincaré implica que incluso para un solo campo masivo, $[O(x),O(y)]$ es cero en una vecindad completa de dos puntos solo si estos últimos están separados como un espacio.

(Había afirmado en la primera versión de mi respuesta que un campo escalar y su gradiente no conmutan en una separación similar al espacio, pero esto es falso, como puede verse por la diferenciación de la relación de conmutación con respecto a $x$ o $y$ . Un ejemplo más realista es QED, donde el vector potencial $A(x)$ es inobservable, mientras que sus derivados exteriores definen el campo eléctrico observable $E(x)$ y el campo magnético observable $B(x)$ , y estos se pueden preparar de forma independiente al mismo tiempo).

@Arnold Neumaier: ¿Podría resolver su (contra) ejemplo " campo escalar y su gradiente " con algún detalle? Aprecio (¡vaya, lo hago alguna vez!) que una derivada no puede evaluarse dado un solo valor; pero y si el límite se acerca $y$ se toma, mientras que el otro operador se refiere a $x$ ? Además, puede encontrar la pregunta y las respuestas proporcionadas allí physics.stackexchange.com/a/35942/10552 instructivo, lo que dio lugar a la pregunta considerada aquí.
Estamos hablando de observables físicos (que suelen ser al menos bilineales en los campos), no de campos fundamentales.
@Arnold Neumaier(1): Gracias por la aclaración. Ahora, mi pregunta no restringía los operadores aplicables como " en teorías conformes " y/o " en dimensión uniforme "... (Sin embargo, esto estaba en consonancia con esta respuesta: physics.stackexchange.com/a/35942/ 10552 )
@Arnold Neumaier(2/2): Con respecto a la " preparación del campo ": ¿Es correcto concluir que los pares de campos que se prepararon (o se encontraron claramente) con alguna dependencia (definida) entre sí estaban necesariamente en (tiempo o al menos luz) ¿orden?, independientemente de que tal dependencia fuera "por grupo", "por frente", "por señal", "electrodinámica", "por masa", o por lo que sea específicamente?
@user12262: uno puede heredar correlaciones y enredos de un pasado común; así que esto es difícil de responder. Yo no sacaría la conclusión. - Las teorías conformes en 3+1 dimensiones son contraejemplos de su afirmación inversa.
@Arnold Neumaier: Parece haber algunas sutilezas en el uso frecuente de " independiente " frente a " notdependiente "...

¿Es suficiente la conmutación de todos los operadores posibles para identificar un intervalo similar al espacio?

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