¿Podemos visualizar los fermiones del modelo estándar como una matriz de 5 dimensiones con solo las primeras 3 dimensiones calibradas?

Los fermiones del modelo estándar suelen estar representados por columnas. Sin embargo, la columna puede tener una connotación diferente según el operador de matriz que actúe sobre ella. Por ejemplo, la 'columna' del espinor de Dirac y la 'columna' del doblete débil zurdo son dos tipos diferentes de columnas.

A la luz de esto, ¿por qué no visualizamos los fermiones modelo estándar (todas las 3 generaciones de fermiones) como una matriz de 5 dimensiones con diferentes matrices actuando en dimensiones separadas (tratando la matriz completa como una sola 'columna' a lo largo de una dimensión dada , donde cada elemento de la 'columna' es en realidad una matriz de 4 dimensiones). Es interesante notar que las primeras 3 dimensiones (espín, isospín y color) están calibradas (siempre que la gravedad/relatividad general se trate como una teoría de calibre local de Lorentz con conexión de espín como campo de calibre), mientras que las últimas 2 dimensiones (quiralidad y generación) no lo son .

Estas 5 dimensiones y sus correspondientes matrices de operadores son (Las$U(1)_Y$La interacción de hipercarga no intercambia columnas y no se incluye en la discusión aquí. ):

1. Dimensión X: giro, arriba/abajo (actuado con la interacción de conexión de 6 giros (que es relevante en la teoría de la gravedad de calibre de Lorentz/Poincare/dS/AdS) Lorentz antisimétrico$SO(1,3)$matrices$\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}$)
2. Dimensión Y: isospín, arriba/abajo (actuado con las 3 interacciones débiles$SU(2)_L$matrices, solo para espinores zurdos)
3. Dimensión Z: color, azul/verde/rojo/lepton (actuado con la interacción fuerte 8$SU(3)_c$matrices, los leptones se pueden definir como el cuarto color que es invariante bajo$SU(3)_c$)
4. Dimensión C: quiralidad, zurdo/diestro (volteado por los 4$\gamma^{\mu}$matrices o cualquier producto impar de las mismas en la representación de Weyl, mientras que incluso los productos de$\gamma^{\mu}$las matrices no cambian la quiralidad (por ejemplo, las matrices de Lorentz$\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}$mencionado anteriormente). El término de masa de Dirac (o su encarnación de Yukawa)$m\bar{\psi}\psi = m\psi^{\dagger}\gamma^0\psi$es el único término lagrangiano del modelo estándar con un número impar de$\gamma^{\mu}$matrices ($\gamma^0$), que mezcla fermiones diestros y zurdos. Por otro lado, el término de masa de Majorana no es una mezcla de quiralidad, ya que la conjugación de carga$\psi^c$en$M\bar{\psi}\psi^c$implica un adicional$\gamma^{\mu}$matriz.)
5. Dimensión F: familia/generación, 1/2/3 (se actúa con las 2 matrices CKM y PMNS de mezcla de sabores)

En total, hay

$$2 (spin, up/down) * 2 (isospin, up/down) * 4 (color, blue/green/red/lepton) * 2 (chirality, left/right) * 3 (generation, 1/2/3) =96$$ elementos complejos (teniendo en cuenta los neutrinos dextrógiros) en la matriz de 5 dimensiones.