¿Podemos usar ecuaciones diferenciales para una población discreta?

Puede realizar la aproximación continua cuando el tamaño de la población es grande. Como menciona arboviral, existen algoritmos que te permiten realizar simulaciones estocásticas con variables discretas. Sin embargo, estos son computacionalmente mucho más intensivos que la integración de ODE. Además, las soluciones analíticas para las ecuaciones maestras (evolución temporal de las probabilidades) son muy difíciles de calcular. Por lo tanto, siempre que sea posible, la gente opta por modelos continuos basados ​​en ODE.

Estos modelos darían una representación incorrecta de la dinámica de las poblaciones pequeñas y no explicarían fenómenos como la extinción. Sin embargo, pueden explicar bastante bien la dinámica de grandes poblaciones. Por lo tanto, la elección del enfoque de modelado depende de las preguntas que desee formular y de la complejidad/costo computacional del modelo.

Difícilmente me llamaría un experto en este tema por cualquier tramo de la imaginación, pero en realidad puede obtener buenas aproximaciones basadas en modelos basados ​​​​en ODE redondeando al número entero más cercano (asumiendo que sus poblaciones son lo suficientemente grandes) . La palabra clave es "aproximación": en realidad, no es tan importante tener que redondear su número cuando se da cuenta de que 3001.2 es solo una aproximación para empezar. No estás prediciendo que habrá exactamente 3001.2 peces, estás prediciendo que habrá aproximadamente esa cantidad. De hecho, predecir que habrá 3001,2 peces cuando en realidad había 3000 es una excelente aproximación: eso es un error de solo aproximadamente 0.

Lo importante a tener en cuenta acerca de los modelos matemáticos es que las respuestas tienden a ser menos "cortadas y secas" de lo que puede estar acostumbrado en otros campos de las matemáticas. La mayoría de la gente piensa que las matemáticas tienen que ver con tener una forma correcta de llegar a "la" respuesta correcta, pero esa mentalidad no se aplica realmente a los modelos matemáticos. Trate de pensar en los modelos más en términos de "mejor versus peor" en lugar de "correcto versus incorrecto".

El otro factor, por supuesto, es que puede ser difícil (o imposible) conocer el valor exacto de todas las variables. Por ejemplo, recientemente estuve trabajando en un modelo matemático de poblaciones de palomas urbanas. Como se muestra en esta pregunta , no es tan fácil obtener datos precisos sobre la población de palomas, y ciertamente es extremadamente difícil saber cuál es la capacidad de carga exacta para un área determinada. (Rápido: ¿cuál es la capacidad de carga total de Londres para las palomas?)

Esto no se aplica a esta ecuación diferencial en particular, pero hay muchos casos (tanto en ecuaciones diferenciales en particular como en modelos matemáticos en general) en los que es poco práctico o imposible llegar a una solución numérica exacta. (A menudo puede usar varias técnicas de aproximación como el método de Euler , por ejemplo, para obtener buenas aproximaciones; también puede usar técnicas gráficas como campos de dirección para tener una idea de las tendencias generales). Este tipo de situación en realidad surge mucho en casos prácticos en los que nos gustaría poder llegar a un buen modelo.

TL; DR Para empezar, su modelo es una aproximación, por lo que no me preocuparía demasiado por tener que redondear.

Sí tu puedes. Por ejemplo, el algoritmo de Gillespie (algoritmo de Gillespie-Doob) genera una trayectoria estadísticamente correcta de una población discreta a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales. Esto es computacionalmente más intensivo que tratar un tamaño de población discreto como continuo, por lo que normalmente solo se usa para poblaciones relativamente pequeñas.