Modelado del crecimiento de la población - Varianza

Consulte Kendall (1949) , sección 2. Muestra que el pdf es una distribución geométrica. En tu notación, es$P_n(t) = N(0)W^{-t}\left(1-W^{-t}\right)^{n-1}$, lo que implica que la media es de hecho$E[N(t)] = N(0)W^t$y la varianza es$\text{Var}[N(t)] = N(0) W^t(W^t-1)$. (Cuidado -- su definición de$\lambda$difiere del suyo por un factor de$\ln 2$.)

Si$W$es un parámetro, esperaría (en el caso más simple) que$W$en sí mismo es una constante (es decir, no tiene una distribución). (Por cierto, normalmente usaría$T_{1/2}$para denotar el tiempo de duplicación,$\ln 2/\ln W$, y usaría$\lambda = \ln W$para la tasa exponencial, es decir$W^t= \exp(\ln W)^t = \exp(t \ln W) = \exp(\lambda t)$. Normalmente no veo personas expresando tarifas escaladas por$\ln 2$.)

En el caso de un proceso de nacimiento-muerte en tiempo continuo (la jerga técnica de su modelo), creo que la respuesta analítica será que la desviación estándar del tamaño de la población en el momento$t$crecerá a la misma tasa exponencial que el tamaño medio de la población, y que la varianza crecerá el doble de rápido (porque tiene unidades de$\textrm{population size}^2$), es decir$\propto \exp(2 \lambda t)$)

No tengo una derivación/referencia a mano, buscaré una. Esta es una matemática de proceso estocástico bastante básica, pero la matemática de proceso estocástico también se vuelve bastante peluda (para un biólogo) rápidamente. Bartlett 1960 ( Modelos estocásticos de población en ecología y epidemiología ) es un lugar para buscar resultados básicos, aunque estoy seguro de que hay muchos otros. Esta tesis doctoral reciente brinda una introducción completa a las matemáticas de los procesos de nacimiento y muerte... aunque, no para mi decepción, una derivación enlatada del resultado de la varianza que me da pereza derivar para usted.