Parámetros estocásticos en ecuaciones de crecimiento de la población

Dado que está preguntando por las interpretaciones biológicas sobre estos parámetros, es importante darse cuenta de que el modelo que está presentando es una versión no dimensional de este modelo:

$$\frac{dx_1}{dt} =b_1x_1\Big(1- \Big(\frac{x_1 + \beta_{12}x_2}{K_1} \Big)\Big)$$ $$\frac{dx_2}{dt} =b_2x_2\Big(1- \Big(\frac{x_2 + \beta_{21}x_1}{K_2} \Big)\Big),$$

que también se puede escribir como:

$$\frac{dx_1}{dt} =b_1x_1\Big(1- \frac{x_1}{K_1} - \beta_{12}\frac{x_2}{K_1}\Big)$$ $$\frac{dx_2}{dt} =b_2x_2\Big(1- \frac{x_2}{K_2} - \beta_{21}\frac{x_1}{K_2}\Big).$$

Esto muestra claramente cómo este modelo de competencia es simplemente el modelo logístico de Verhulst , con un término adicional adjunto. Este término adicional simplemente describe en qué medida cada individuo de la "especie" 2 está utilizando los recursos de la "especie" 1 ($K_1$), dónde$\beta_{12}$describe esta relación (~proporción de la especie 2 que se cuenta como especie 1). Los parámetros en las formulaciones del modelo anteriores también se interpretan más fácilmente en términos ecológicos/biológicos que los$a_{ij}$s en su modelo.

Para pasar de esta última formulación a la suya, sustituya:

$$a_{11} = b_1/K_1$$ $$a_{12} = \frac{b_1\beta_{12}}{K_1}$$ $$a_{22} = b_2/K_2$$ $$a_{21} = \frac{b_2\beta_{21}}{K_2}$$

Como puede ver, esto significa que el$a_{ij}$s son compuestos de otros parámetros, y perturbando$a_{ij}$s podría corresponder a cualquiera$b_i$,$K_i$o$\beta_{ij}$siendo perturbado. También significa que perturbar, por ejemplo,$b_1$en su modelo mientras mantiene$a_{11}$fijo significa que en realidad también estás perturbando$K_1$para compensar el cambio de$b_1$(ya que$a_{11} = b_1/K_1$), que introducirá una correlación temporal positiva entre$K_1$y$b_1$. Esta es una suposición fuerte para hacer. Esto también significa que$a_{ij}$Los s no son estrictamente "parámetros de interacción" como los llama, pero también incluyen otros aspectos.

Dado que los casos y escenarios realistas de perturbaciones a menudo se pueden expresar en términos de la parametrización que expuse anteriormente (por ejemplo, fluctuaciones aleatorias en la tasa de crecimiento de la población o la capacidad de carga), es esencial tener en cuenta estas relaciones.

Solo tiene 6 parámetros en este modelo y puede perturbar fácilmente cada uno de ellos individualmente mientras mantiene los demás constantes. Esto le permitirá conocer el efecto individual de diferentes parámetros.

Para evaluar la sensibilidad global del sistema a las perturbaciones "ambientales", lo que puede hacer es un muestreo multivariado aleatorio de parámetros. Obtendrá diferentes combinaciones de valores de parámetros. Luego puede trazar la distribución de cualquier métrica que pretenda estudiar.

Sin embargo, si pretende perturbar un solo parámetro o varios parámetros combinados, la elección de cuáles perturbar depende de lo que pretenda estudiar. El sistema puede, en general, ser insensible a ciertos parámetros. Se puede realizar un análisis de sensibilidad local para estudiar el efecto del parámetro en el estado estacionario. Esto se puede hacer tomando una derivada de la expresión del estado estacionario con respecto al parámetro. Para un modelo simple como:

$$\frac{dx}{dt}=x(b-ax)$$

sensibilidad local del estado estacionario$x^*=b/a\ $a$a$sería

$$\frac{dx^*}{da}=-\frac{b}{a^2}$$ .

Desde aquí se puede ver que el efecto de la perturbación de$a$en$x^*$sería superior a la de$b$.

Sin embargo, el análisis de sensibilidad local no dice nada sobre la dinámica y, para sistemas complicados, puede ser difícil adivinar qué parámetro tendría el efecto más fuerte.

Para tales casos, puede hacer un muestreo aleatorio y luego ejecutar un algoritmo de clasificación/regresión para determinar qué parámetro tuvo el efecto más fuerte en su métrica.

Otro enfoque es adivinar qué parámetros es probable que se vean perturbados en el curso natural de los acontecimientos. Esto, lo sabría por el conocimiento previo del sistema. Si asumimos un entorno estable, es probable que la capacidad de carga no cambie mucho. Sin embargo, para una población de gran diversidad fenotípica, la tasa de crecimiento puede variar mucho.