Comprender el número medio esperado de temporadas de reproducción

Es solo una versión continua del cálculo discreto. La versión discreta es la suma (serie infinita)

$$\sum_{i = 0}^\infty S^i \cdot bp$$

sumando cada (posibilidad de supervivencia a la temporada$i$) x (probabilidad de reproducción dada esa supervivencia).

Hacer esto continuo convierte la ecuación a

$$\begin{split} & \int_0^\infty bp \cdot S^i \, di \\ = \enspace & bp \int e^{i \ln S} \, di \end{split}$$

la integración da

$$\left.bp \cdot \frac{e^{i \, \ln(S)} }{\ln(S)} \right\vert_{0}^{\infty}$$

Evaluar da

$$= \frac{bp \cdot e^{-\infty} }{\ln(S)} - \frac{bp \cdot e^{0} }{\ln(S)}$$ (recordando que$0 <= S < 1$, entonces$\ln(S) < 0$)

$$= bp \cdot 0 - bp \cdot \frac{1}{\ln(S)} = bp \cdot \left(0 - \frac{1}{\ln(S)}\right) = bp \cdot \frac{-1}{\ln(S)}$$

Creo que tu explicación es correcta. El valor esperado de la distribución exponencial es:

$$t \sim \text{e}^{-\lambda t} \implies \langle t \rangle = \int_0^\infty t \ \text{e}^{-\lambda t} \; \text{d}t = 1/\lambda.$$

Para la función de supervivencia exponencial, tenemos que identificar el parámetro$S$. Desde$S$es el número de individuos sobrevivientes después de un año, se deriva:

$$S = \text{e}^{-\lambda} \implies \lambda = - \ln S.$$

Por lo tanto, la esperanza de vida es simplemente:

$$\langle t \rangle = -\frac{1}{\ln S}.$$

Debido a que la probabilidad de que ocurra una reproducción cada año es independiente, podemos multiplicar la esperanza de vida por la probabilidad de que la reproducción ocurra en un período de un año. Esto nos da el resultado final:

$$\langle \# \text{ breedings} \rangle = \langle t \rangle \cdot P(\text{breeding}) = -\frac{1}{\ln S}\ P(\text{breeding}).$$