Formalizando la teoría cuántica de campos [duplicado]

Hay una serie de matemáticos de alto nivel que están trabajando para dar una descripción matemáticamente más precisa de la QFT perturbativa y el procedimiento de renormalización. Por ejemplo, hay un artículo reciente de Borcherds http://arxiv.org/pdf/1008.0129 , el trabajo de Connes y Kreimer sobre álgebras de Hopf y el trabajo de Bloch y Kreimer sobre estructuras mixtas de Hodge y renormalización http://www.math. uchicago.edu/~bloch/monodromy.pdfSólo para nombrar unos pocos. Para ser honesto, no soy lo suficientemente sofisticado matemáticamente para juzgar lo que se ha logrado en estos documentos, pero creo que hay algunos problemas en QFT que probablemente involucrarán algunas matemáticas de alto poder del tipo que se está desarrollando en estos documentos. Por ejemplo, el intento actual de reformular N=4 SYM en términos de Grassmannianos aparentemente tiene alguna conexión con objetos matemáticos bastante profundos llamados Motivos. Los resultados sobre el grado de trascendentalidad que se muestran en amplitudes perturbativas N=4 SYM también parecen estar más allá de lo que los físicos realmente entienden y creo que la presencia de objetos trascendentales (como$\zeta(3)$) en amplitudes QFT proporciona parte de la motivación para el trabajo de Bloch y Kreimer. No soy un experto en estas cosas, por lo que quizás alguien más intervenga con una explicación más completa y referencias adicionales.

Editar: una referencia más que está más cerca del espíritu de la pregunta original es un libro en progreso de Costello sobre la teoría del campo cuántico perturbativo tratado desde el punto de vista wilsoniano de la teoría del campo efectivo. Las notas están disponibles en línea en http://www.math.northwestern.edu/~costello/renormalization

La pregunta aquí es cómo organizar una respuesta. Se pueden dar nombres, pero espero poder dar algún orden conceptual. Con suerte, otras respuestas encontrarán otras formas de organizar su respuesta.

Los axiomas de Wightman son clásicos. Aquí tomo el enfoque de organizar cómo otros enfoques se ajustan a los axiomas de Wightman, aunque no sean axiomáticos. Se puede encontrar una crítica útil de los axiomas de Wightman en Streater RF, Rep. Prog. física 1975 38 771-846. Más reciente es la evaluación de Fredenhagen, Rehren y Seiler, "Quantum Field Theory: Where We Are" en http://arxiv.org/abs/hep-th/0603155 , que recomiendo. En mi esquema aquí, sin embargo, el enfoque sobre el que preguntas en particular, las formalizaciones del grupo de renormalización, no figura porque, como dices, tienen un punto de partida completamente diferente. Diría que el punto de partida es quizás el concepto de integrales de Feynman en lugar del grupo de renormalización en sí mismo, pero también diría que eso es una objeción.

Hay una gran pregunta sobre qué esperamos lograr mediante la axiomatización. (1) Podemos aflojar los axiomas, de modo que tengamos más modelos, algunos de los cuales pueden ser útiles en física, pero tenemos que averiguar cuáles caso por caso. Esto hace que Ingeniería sea algo quijotesca. (2) Podemos ajustar los axiomas, con la ambición de que todos los modelos sean útiles en Física, pero algunos modelos Físicamente útiles podrían descartarse. Los matemáticos a menudo están felices de trabajar con axiomas que un físico consideraría demasiado estrictos.

Entonces, los axiomas de Wightman, más o menos en la presentación de Haag en “Física cuántica local”:

1. El espacio de estado(a) es un espacio de Hilbert separable. Hay gente que intenta usar álgebras no asociativas, entre otras cosas. (b) que apoya una representación del grupo de Poincaré. Hay gente haciendo QG, QFT en CST y muchas formas de romper la simetría de Lorentz a pequeña escala. (c) Hay un único estado invariante de Poincaré. Los sectores térmicos no satisfacen esto. Los vacíos no únicos son un viejo favorito, pero el estado de vacío es omnipresente en la física de partículas. (d) El espectro del generador de traslaciones se limita al cono de luz frontal cerrado. Este es un elefante, en mi opinión. La razón subyacente de esto es la “estabilidad”, que no tiene una formulación axiomática. La creencia de que la condición del espectro es necesaria para la estabilidad puede basarse en el pensamiento clásico, particularmente en la primacía del hamiltoniano o el lagrangiano.

2. los observables(que, implícitamente, corresponden de alguna manera a estadísticas de datos experimentales) (a) Son distribuciones valoradas por operadores. La gente ha introducido otros espacios de funciones generalizadas. Haag-Kastler ajusta esto, a operadores acotados, pero el mapeo de regiones de espacio-tiempo a operadores es más flexible. En Física de partículas, la matriz S, que analiza las transiciones entre estados de campo libre en hiperplanos similares al tiempo en t = +/-infinito, ha sido el observable supremo durante décadas: tratando de reconciliar esto con las distribuciones invariantes de valor de operador de Lorentz. los axiomas de Wightman prácticamente mataron a este último. La física de la materia condensada, la óptica, etc., se toman muy en serio las funciones de correlación, lo que me parece que está en el centro de la división entre las partículas y otros físicos. Otro elefante. (b) Son hermíticos. Hay una estructura compleja. La gente también ha introducido cuaterniones de varias maneras. (c) Los campos se transforman bajo el grupo de Poincaré. Esto va con 1b. (d) Los observables se pueden medir conjuntamente en una separación similar al espacio, pero en general no se pueden medir conjuntamente en una separación similar al tiempo. Apartarse del grupo de Poincaré casi siempre resulta en una violación de este axioma. Los campos aleatorios, que siempre son distribuciones valoradas por operadores medibles conjuntamente, y las diferencias entre ellos y QFT, son algo que he publicado.

Hasta cierto punto, el enfoque de Haag-Kastler lleva los estados y los observables a la estructura única de las álgebras de von Neumann, pero permanece esencialmente la distinción de los operadores lineales y sus duales. Negarse a dividir el mundo en estados y observables, lo que podríamos llamar "holismo", hace que la física sea casi imposible. Siempre está la cuestión de dónde exactamente debería colocarse el corte de Heisenberg, pero pragmáticamente, simplemente lo colocamos en alguna parte . Bell intenta cuadrar ese círculo mientras sigue haciendo física en su 'Contra la 'medición'', y Bohm prácticamente dejó atrás la física. Hay personas que intentan hacer ese tipo de cosas, pero encuentro muy poco útil.

Volviendo a la tierra, también existe la cuestión de cómo deformamos un sistema que hemos logrado construir para que sea significativamente diferente en formas interesantes. Esto no está en los axiomas, pero el estándar ha sido deformar el hamiltoniano o el lagrangiano. Sin embargo, ambos métodos requieren la elección de una o dos hipersuperficies espaciales, lo que va en contra del espíritu del grupo de Poincaré. Las deformaciones algebraicas, la otra alternativa conocida (¿otras?), apenas han dejado el suelo porque las restricciones de la energía positiva, la microcausalidad y la primacía de la matriz S las han descartado hasta ahora (también he publicado sobre esto, basado en Lie campos de la década de 1960). Si deformamos el álgebra de observables en lugar de la dinámica, surge la pregunta de qué podría ser la "estabilidad".

Por supuesto, existe la cuestión de si uno debe partir de los axiomas de Wightman, pero uno tiene que elegir en alguna parte. Luego, con Lee Smolin, uno tiene que adentrarse en los valles, con la esperanza de encontrar una colina más grande. Los mejores deseos.

Encontrará mucha información en nLab, el wiki en línea abierto de un grupo de personas que trabajan en n-categorías. Realmente debería hacer clic y ver qué hay allí, aquí está la página sobre el punto de vista "funcional" en QFT, la formalización de la imagen de Schrödinger de QFT, incluidos los TQFT:

• Teoría cuántica de campos funcional

también hay una página sobre la imagen de Heisenberg, también conocida como teoría axiomática del campo cuántico:

• AQFT

El software wiki escrito por Jaques Distler tiene una buena función de búsqueda, ¡úsala! También encontrará mucho sobre (formalizar) la teoría de cuerdas, también sobre el trabajo de Jacob Lurie et alt. sobre TQFT, una página larga sobre CQFT y referencias sobre trabajos recientes sobre la imagen de QFT perturbativo y grupos de renormalización desde el punto de vista de AQFT.

Bueno, dado que solicitó específicamente lo último, aquí está el enlace directo (pero también está en el nLab, junto con una gran cantidad de otros recursos):

• Romeo Brunetti, Michael Duetsch, Klaus Fredenhagen: Teoría algebraica perturbadora de campos cuánticos y grupos de renormalización .

También hay información sobre el trabajo de Connes para formalizar el modelo estándar y unificarlo con la gravedad mediante el uso de espacios no conmutativos.

Además, si alguien no encuentra algo que debería estar allí, ¡vaya al nForum y dígaselo a la gente de allí!

Editar: Explicación de "espacios no conmutativos": cuando toma una variedad realmente suave como un espacio-tiempo, por ejemplo, esta variedad está completamente descrita por el álgebra de gráficos. De hecho, la definición misma de variedad se puede hacer de esta manera. Cada propiedad de la variedad corresponde a una propiedad del álgebra de gráficos. Este álgebra es conmutativa, por supuesto. La gran idea de Connes de la "geometría no conmutativa" es que podríamos reemplazar el álgebra conmutativa de las tablas con un álgebra de operadores no conmutativos y ver qué conceptos geométricos podríamos transferir del entorno conmutativo al no conmutativo. Álgebras de operadores ($C^*$-álgebras, para ser más precisos) se consideran entonces como un análogo no conmutativo de las cartas de un espacio "no conmutativo". Connes trabajó mucho en el modelo estándar y QFT perturbativo usando esta idea, pero desafortunadamente es matemáticamente bastante sofisticado. Para una buena introducción para los físicos, ver por ejemplo:

• J. Madore: "Introducción a la geometría diferencial no conmutativa y sus aplicaciones físicas", 2.ª edición, Cambridge University Press

Este libro también explica ideas para extender el espacio-tiempo clásico con aspectos no conmutativos.

Aquí está mi respuesta desde el punto de vista de la física de la materia condensada:

La teoría cuántica de campos es una teoría que describe el punto crítico y el vecino del punto crítico de un modelo de red. (Los modelos de celosía tienen una definición rigurosa).

Entonces, definir/clasificar rigurosamente las teorías cuánticas de campos es clasificar todos los puntos críticos posibles de los modelos reticulares, lo cual es un proyecto muy importante y muy difícil.

(Uno puede reemplazar "modelo de celosía" en lo anterior por "modelo regulado no perturbativamente")

Creo que si desea un enfoque riguroso de QFT que incorpore las ideas de renormalización y teoría de campos efectivos, es posible que desee analizar detenidamente el trabajo de la escuela 'QFT constructiva'. Su trabajo sobre la integración funcional euclidiana rigurosa está muy en el espíritu de Wilson.

Dos ejemplos, elegidos al azar entre muchos:

1) Las medidas funcionales euclidianas generalmente se construyen como medidas cilíndricas en espacios de distribuciones. (Estos espacios de distribuciones surgen como duales de espacios nucleares, que son espacios vectoriales de funciones que obtienen su topología de familias de normas que cuantifican "¿qué tan concentrada está esta función?".) Estas medidas se construyen como límites de medidas de corte, como la escala de corte llega a cero, y las medidas de corte son medidas construidas de tal manera que se aproximan a un flujo de grupo de renormalización. Por ejemplo, la construcción de la teoría de Yang-Mills del continuo en un toro se realiza mediante la teoría de Yang-Mills de celosía de rotación de bloques de forma bastante explícita. Lo mismo para 2d Maxwell-Higgs.

2) Para ser una medida honesta, una medida cilíndrica debe satisfacer una propiedad adicional: debe ser contablemente aditiva. En el trabajo de Glimm & Jaffe, esta propiedad se obtiene como consecuencia de una propiedad llamada 'desaparición en el infinito', que establece, básicamente, que la medida es insensible a la región del espacio de campo sondeada por funciones de prueba que son grandes y muy bien localizadas. Esto es casi exactamente lo que uno quiere decir con una teoría de campo 'efectiva'.

Creo que ya te han dado las referencias necesarias antes que yo. Vuelvo a su frase: "... además me pregunto acerca de los intentos de definir QFT de forma no perturbativa...". Creo que lo máximo que podemos esperar es tener en cuenta parcialmente algunas interacciones. En este sentido, esta parte no es perturbativa. Esto puede darnos una mejor aproximación inicial (estados de entrada/salida); el resto de interacciones se pueden tener en cuenta perturbativamente. Inicié tal actividad, vea aquí , pero no aparece ningún grupo de renormalización en mi enfoque, lo siento. Además, no está formalizando sino reformulando QFT basándose en fenómenos físicos.

¡Por favor, no me mates por eso!