¿Podemos definir operadores de paridad para giros que sean algo así como el operador de paridad habitual?

Mientras resolvía un problema, descubrí que me sería útil inventar un operador unitario tu que satisface los siguientes requisitos para un sistema spin-1/2:

tu † S X tu = S X , tu † S y tu = S y , tu † S z tu = − S z

Me he convencido a mí mismo de que esto no es posible, por la siguiente cadena de igualdades:

S y S z = i S X ⇒ tu † S y S z tu = tu † S y tu tu † S z tu = − S y S z = i tu † S X tu = i S X = S y S z

lo que contradice la unitaridad de tu . Pero si trato de aplicar el razonamiento clásico a los giros (peligroso, lo sé, pero escúchame), parece que deberíamos poder realizar la transformación deseada rotando por π sobre el eje z, que mapea S y → − S y y S X → − S X , seguido de algo parecido al operador de paridad en el espacio de espín, es decir, el operador que envía S X → − S X , S y → − S y , S z → − S z . Si tal operador existiera, debería ser unitario y hermitiano, ya que cuadra a la identidad. Pero si tal operador existiera, entonces puedo construir el deseado tu , que acabo de demostrar que no puede existir. ¿Alguien puede señalar dónde me está fallando mi lógica?

Entonces, demuestra que la U de la primera línea, o bien el operador "algo parecido" que multiplica todos los generadores con un signo - no es un isomorfismo del álgebra SU (2), no lo conserva.

Respuestas (1)

Lo que estás tratando de describir es esencialmente un reflejo. El problema que está encontrando es que sus operadores de espín se transforman como pseudovectores bajo reflexión (similar a su contraparte de momento angular clásico). Una consecuencia es que los operadores de espín no cambian de signo en una transformación de paridad, por lo que no podrá construir un operador como S X → − S X , S y → − S y , S z → − S z .

¿Podemos definir operadores de paridad para giros que sean algo así como el operador de paridad habitual?
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