Potencial simétrico y el conmutador de paridad y hamiltoniano.

Demuestras la igualdad de operadores aplicándolos a una función, tenemos

$$H = - \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)$$ Es decir: $$HP f(x) = H f(-x) = (- \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)) f(-x) = - \frac{\hbar^2}{2 m} f''(-x) + V(x) f(-x)$$ y $$PH f(x) = P (- \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)) f(x) = P (- \frac{\hbar^2}{2 m} f''(x)) + P (V(x) f(x)) ...$$

$$... = - \frac{\hbar^2}{2 m} f''(-x) + V(-x) f(-x)$$ cuando usas $$V(-x) = V(x)$$ ves que ambas expresiones son iguales.

$$[P,H]f(x)=(PH-Hp)f(x)$$ Pero $$H=P^2/2m+E(x)$$ $$=PE(x)-Hf(x)$$ $$=E(-x)-E(-x)$$ $$=0$$

Por lo tanto, el operador de paridad conmuta con hamiltoniano.

Si bien la respuesta aceptada es muy clara, escribiré una prueba de operador. El$\hat{p^2}$en$\hat{H}$viaja con$\hat{\mathbb{P}}$(el operador de paridad). Entonces, para mostrar que$\hat{H}$y$\hat{\mathbb{P}}$conmutar, tenemos que mostrar esto:

$[\hat{V},\hat{\mathbb{P}}]=0$

Tenga en cuenta que desde$V(x)$es una función simétrica, es decir, función par, es una función propia de$\hat{\mathbb{P}}$.

$\hat{V}\hat{\mathbb{P}}-\hat{\mathbb{P}}\hat{V}$

$\Rightarrow V(x)\hat{\mathbb{P}}-V(-x)\hat{\mathbb{P}}=0$(QED)

Hice el último paso teniendo en cuenta que cuando tiene un producto de funciones en el que se debe aplicar el operador de paridad, puede aplicarlo en uno (es decir, cambiar el$+x$a$-x$) y transfiera la Paridad a la derecha.

PS Como consecuencia de esta conmutación, en una dimensión, siempre que tenga un potencial simétrico, los estados propios son pares o impares, ya que solo las funciones pares e impares son los estados propios del operador de paridad.