¿Cómo surge la fricción y su dependencia de la velocidad a partir de interacciones microscópicas?

Ley de Stokes para la fuerza de fricción experimentada por una esfera en un fluido que se mueve lentamente

$$F_d= 6\pi \eta a u,$$ dónde $u$es la velocidad del fluido, $\eta$es la viscosidad y $a$es el radio, es una consecuencia rigurosa de la ecuación de Navier-Stokes en el límite del pequeño número de Reynolds $R=ua/\nu$dónde $\nu=\eta/\rho$( $\rho$es la densidad de masa del fluido).

De hecho, la ecuación de Navier-Stokes también predice términos de orden superior en$R$. El siguiente término (debido a Oseen) proporciona como corrección

$$1+ \frac{3}{8}R,$$ lo que da una dependencia cuadrática de $u$. Los términos de orden superior son más complicados (términos como $R^2\log(R)$), y finalmente la turbulencia implica que la expansión deja de ser útil y la resistencia tiene que calcularse numéricamente.

La ecuación de Navier-Stokes en sí misma se puede derivar utilizando teorías más microscópicas, como la teoría cinética (cuántica). En particular, para gases diluidos, la ecuación de Boltzmann determina la viscosidad$\eta$en términos de la sección transversal de dispersión entre los átomos. Una estimación simple es

$$\eta =\frac{\sqrt{2mT}}{3\sigma}\, ,$$ dónde $T$es la temperatura, $m$es la masa de los átomos, y $\sigma$es la sección transversal. Esta fórmula es más o menos correcta para el aire, pero los líquidos (como el agua) son más complicados y $\eta$tiene que calcularse numéricamente. Esto se explica en libros de texto estándar sobre teoría cinética, como el volumen X de Landau y Lifshitz (o libros de texto más introductorios sobre stat mech, como el libro de Kerson Huang).

La sección transversal de dispersión entre los átomos se puede calcular utilizando las leyes de la mecánica cuántica. Para los átomos neutros, el potencial de largo alcance es el potencial de van der Waals (Casimir-Polder), que surge del intercambio de dos fotones y se rige por la polarizabilidad de los átomos.

Nótese que al pasar de muchas mecánicas cuánticas de cuerpos a una teoría macroscópica como la teoría cinética o la dinámica de fluidos, tenemos un grano grueso y, como resultado, pasamos de dinámicas microscópicas reversibles en el tiempo a dinámicas macroscópicas irreversibles. Sin embargo, el punto importante es que los parámetros de la teoría macroscópica (viscosidad de corte, en particular) están completamente fijados por la dinámica microscópica.

La fricción sólido contra sólido es un tema ligeramente diferente, consulte ¿ Se puede derivar el coeficiente de fricción a partir de los fundamentos? .

Una buena derivación de la ecuación de Navier-Stokes y su término disipativo se encuentra en el excelente libro de física estadística de Linda Reichl .

En general, las correcciones de orden más bajo a las teorías efectivas conservadoras (aquí las ecuaciones de Euler) que se aproximan a una teoría microscópica (aquí, por ejemplo, la teoría clásica de N-partículas o una ecuación de Boltzmann) mediante un granulado grueso apropiado son disipativas, ya que la disipación explica la pérdida de energía a modos de alta frecuencia no modelados. Los términos adicionales que surgen contienen integrales sobre funciones de correlación de 2 puntos que dan las contribuciones medias de los términos bilineales en una expansión en términos de potencias de las fluctuaciones. Los términos lineales en esta expansión no contribuyen ya que su media es cero.

Esto es independiente de cualquier material electromagnético, pero uno puede generalizar las derivaciones para obtener ecuaciones disipativas para fluidos cargados, y estas involucran el campo electromagnético.