¿Podemos calcular todos los dígitos de la constante de Euler-Mascheroni?

Dejar γ sea ​​la constante de Euler-Mascheroni del cálculo. ¿Existe un algoritmo que calcule la norte -ésimo dígito de la expansión decimal de γ dado norte como entrada?

Por lo que sabemos γ podría ser un número racional, incluso podría ser algo como k / 10 norte y tienen una expansión decimal terminal. ¿Tenemos dificultades en este caso cuando tratamos de calcular el norte -th o dígitos posteriores?

Aclaración : como otro ejemplo, supongamos que tenemos una serie de límite inferior estrictamente creciente computable a norte y una serie de límite superior estrictamente decreciente computable b norte ambos convergen a un número real desconocido X : a norte < X < b norte y b norte − a norte → 0 .

Ahora suponga que X es de hecho 0.5 pero no sabemos esto. Todo lo que vemos es que no importa cuántos (finitamente) a norte y b norte calculamos que siempre a norte < 0.5 < b norte . Entonces, ¿cómo podemos saber el primer dígito de la expansión decimal de X ? Podría ser 4 o 5 .

Mi pregunta es: ¿Podríamos encontrarnos con un problema similar con γ ? ¿Existe una función computable conocida? F ( norte ) que probablemente calcula el norte -ésimo dígito de la expansión decimal de γ para cada norte ?

Teóricamente, por supuesto, existe tal algoritmo en cualquier caso. Pero podemos escribirlo sin saber si γ es irracional?

¿ Está buscando la versión constante de Euler del algoritmo BBP ?
Ayer hice una pregunta relacionada... Wikipedia define un número como computable si hay un algoritmo que lo aproxima a la precisión deseada. Ahora me doy cuenta de que no es obvio si esto es equivalente a calcular un dígito arbitrario (posiblemente con un algoritmo diferente)...
Encontré este blog de Hamkins: jdh.hamkins.org/alan-turing-on-computable-numbers Mira el párrafo que comienza con "Pero déjame aclarar un punto confuso". Él dice que los dígitos computables son lo mismo que computables con cualquier precisión. Aunque las dos definiciones tienen diferencias sutiles en otros aspectos.

Respuestas (2)

En la práctica, estaríamos jodidos en el caso de que la expansión decimal esté terminando. Sin embargo, γ es computable también en este caso ya que si tiene una expansión decimal terminal, es racional y entonces hay un algoritmo para determinar todos los dígitos. Eso no nos ayudaría ya que no sabríamos si este es realmente el caso.

La dificultad que describes se conoce como el problema de la igualdad. En general, no es posible decidir la igualdad de dos expresiones si pueden ser "lo suficientemente complicadas". No estoy seguro de si el límite bien conocido para γ cae en esta categoría.

que la expansión decimal de γ termina es incluso menos probable que eso γ es racional, pero que yo sepa, no podemos descartarlo.

¿Por qué es menos probable que termine la expansión decimal? ¿Hay más números racionales con expansiones decimales periódicas que con las terminales en general?
Asumiendo , γ es racional, sabemos que el denominador (escrito en los términos más bajos posibles) debe ser enorme. Que no tiene factores primos aparte de 2 y 5 es extremadamente improbable ya que hay muy pocos números de este tipo: Hasta 10 100 , hay por ejemplo solo 24   002 dichos números (incluyendo 1 )

Sí, si nos fijamos en la expansión de la serie. https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant#Series_expansions

Uno puede aproximar la constante por algo que es fácil de calcular − registro ⁡ ( norte ) + ∑ k = 1 norte 1 k . También hay una garantía sobre qué tan rápido esto converge a γ como norte tiende al infinito. Con esa garantía puede estar seguro de los primeros dígitos. Se demuestra que el denominador tendría que ser enorme si γ es racional

Por supuesto, podemos calcular aproximaciones cercanas arbitrarias. Pero esa no es la cuestión. Si de hecho es racional con un denominador de potencia de 10, ¿cómo podemos estar seguros de su último dígito distinto de cero?
Si γ en realidad tiene una expansión decimal terminal, no podríamos saber si el valor correcto es la expansión decimal terminal que asumiríamos después de haber encontrado aproximaciones lo suficientemente cercanas a él o si γ es más pequeño, pero tan cerca que no podemos distinguirlo. En este caso, el último dígito estaría mal.
Si la expansión decimal está terminando, entonces hay un algoritmo trivial que la calcula; return n < N ? a[n] : 0para alguna matriz constante ade longitud N. En realidad, demostrar que los dígitos que calcula el algoritmo son los de la constante de Euler-Mascheroni es otra cuestión.
@kaya3 ¡Exactamente ese es el punto! Primero tendríamos que demostrar que γ es en realidad igual a esta expansión decimal final.
¿Podemos calcular todos los dígitos de la constante de Euler-Mascheroni?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v