PE gravitacional perdido vs PE elástico ganado en masa - resorte

En SHM no hay amortiguamiento, por lo que la oscilación continuaría para siempre. Para llevar el sistema al equilibrio, se necesitaría una fuerza externa y la energía almacenada en el resorte se disiparía para vencer esta fuerza. La energía mgx donde x es el punto de equilibrio al que el sistema ha sido llevado por una fuerza externa es igual a 1/2 kx^2 (almacenada en el resorte) + la energía disipada para detener la oscilación. La distancia h donde la energía mgh se convierte totalmente en la energía del resorte 1/2kh^2 es el punto donde la masa está a la distancia máxima del equilibrio e instantáneamente en reposo justo antes de invertir la dirección. Pero esto es el equilibrio máximo y aquí mg no es = kh.

¡Lo que has descubierto es la razón de las oscilaciones!

Llamemos a la posición donde la cuerda no está estirada$x=0$. Supongamos que simplemente mantenemos la pelota en esta posición. La energía total de la pelota en este punto es$0$en nuestras convenciones.

Ahora, lo dejamos y lo dejamos bajar. Las fuerzas se equilibran en$x_{eq} = - \tfrac{mg}{k}$. Y, como usted señaló correctamente, la energía potencial de la pelota en este punto es

La respuesta es: el resto de la energía está en la energía cinética en este punto. La velocidad en este punto tendrá el valor correcto tal que$\tfrac{1}{2} m v_{eq}^2 = \tfrac{1}{2} k x_{eq}^2$, y por lo tanto la bola sigue bajando a pesar de que las fuerzas están equilibradas.

Ahora, el potencial de confusión es que la bola eventualmente se detendrá, entonces, ¿dónde está la energía entonces? La respuesta aquí es la disipación: tiene que haber alguna fuerza que amortigüe las oscilaciones, de lo contrario, nunca se detendrán y la energía siempre será$0$.

Hay una imagen alternativa en la que nunca dejas que la pelota gane velocidad colocando un escenario debajo y moviendo lentamente el escenario hacia abajo. No tengo una comprensión completamente clara de esto, pero creo que el escenario consume la diferencia de energía de alguna manera. Un caso un poco más simple es cuando mueves el escenario no continuamente sino en pequeños pasos discretos; luego, claramente, en cada paso, el escenario está consumiendo suficiente energía para amortiguar las oscilaciones. No entiendo el límite de este proceso discreto ya que el tamaño del paso va a$0$, pero eso es todo lo que necesita ser entendido.

Aparte: el hecho de que la energía total al final, cuando la bola se detiene en el punto de equilibrio, sea negativa es, de alguna manera, el teorema virial de la mecánica clásica . No he desglosado exactamente cómo, pero déjame desarrollar un poco la analogía en mi mente; si alguien puede decirlo con mayor precisión, edite esta respuesta.

El ejemplo clásico del teorema virial es un planeta en órbita alrededor de una estrella. En este caso, la energía potencial gravitatoria es$-2$veces la energía cinética de rotación. Si te concentras solo en la dirección radial, se parece mucho a que hay una fuerza centrífuga que se aleja de la estrella y la energía gravitacional la empuja hacia ella. La analogía es la fuerza centrífuga.$\leftrightarrow$ $mgx$y fuerza gravitatoria$\leftrightarrow \tfrac{1}{2} k x^2$, contra-intuitivo como eso es.

El paso 1 en el camino hacia la precisión es notar que la fuerza gravitatoria$\tfrac{G M m}{r^2}$se puede ampliar para pequeños desplazamientos --- de modo que$r=r_0 + \delta r$--- como$\tfrac{G M m}{r_0^2} (1 - 2 \delta r)$, dando una fuerza lineal. Sin embargo, no sé cómo pensar en la fuerza centrífuga.

Agradecimientos para la discusión: usuario128785 y otro amigo que no está en el intercambio de stakc.

EDITAR: Resulta que Timaeus dijo lo mismo primero. Disculpas por repetir.

¿Seguramente la energía potencial gravitacional perdida por la masa debería ser igual a la energía potencial elástica ganada por el resorte?

Por el contrario, si algo se cae, ¿no implica eso que ganó cierta velocidad hacia abajo y, por lo tanto, el cambio en la energía cinética debería estar relacionado con el trabajo neto realizado sobre el objeto?

Aquí hay una advertencia. Digamos que mediste k, g y m. No coloque algo valioso a una distancia x por debajo de la posición original del resorte donde kx=mg. Porque el hecho de que la fuerza sea cero en ese punto no significa que el objeto no seguirá moviéndose si tiene cierta velocidad.

La energía cinética se puede sacar de este problema usando la siguiente configuración. Deje que la masa esté sentada en un escenario de altura ajustable y unida al resorte, pero sin estirarla todavía. Comienzo a bajar la altura del escenario lentamente, para que la masa comience a extender el resorte. La masa extenderá el resorte hasta que las fuerzas del resorte y el peso se cancelen entre sí, es decir$mg=kx$, momento en el cual perderá contacto con el escenario y quedará suspendido solo del resorte; no habrá movimiento más allá de este punto y, por lo tanto, no habrá energía cinética.

Las personas que no están de acuerdo con el argumento anterior pueden pensar en la extensión de un cable unido a la masa de manera similar, dentro del régimen de la ley de Hooke. La masa al final del cable no realiza MAS.

La energía potencial debe tratarse por separado de la fuerza en un punto . Esto es muy importante. Se llega a la energía potencial integrando la fuerza sobre el desplazamiento, por lo tanto, sustituir la igualdad de fuerzas en cualquier punto en la respuesta a la que se llega integrando la misma fuerza sobre el desplazamiento claramente le dará tal contradicción.

Puedes ver esta contradicción simplemente matemáticamente. Sean dos funciones$f_{1}(x)$y$f_{2}(x)$; ahora incluso si

¿Por qué, usted puede pedir? Porque de hecho no son iguales para la mayor parte de la integral (es decir, el dominio de x). La razón por la que el resorte incluso se estira bajo el peso de la masa es que$mg>kx \ \forall x\in [0,x_{f})$; si$mg=kx$eran ciertos en cada$x$, ¡el resorte no se estiraría en absoluto!

Una respuesta demasiado larga para un simple error, pero que esto sea una advertencia contra la sustitución ciega. :)