Patrón de difracción para un cristal de coseno

Question

Patrón de difracción para un cristal de coseno

mundo duque

Tengo un cristal cuadrado 2D que tiene un potencial continuo $U(\vec r)$ . Se extiende hasta el infinito. Quiero encontrar el patrón de difracción de este cristal. El potencial que uso es

tu (\vec{r}) = tu (X \hat{X} + y \hat{y}) = 2 {tu}_{0} (porque (q X) + porque (q y)) = 2 {tu}_{0} porque (\vec{q} \cdot \vec{r}) .

$U(\vec r )=U(x \hat x+ y \hat y)=2 U_0(\cos(q \; x)+\cos(q \; y)) = \\2 U_0 \cos(\vec q \cdot \vec r ).$ Dónde

\vec{q} = q \hat{x} + q \hat{y}

$\vec q = q\hat x + q\hat y$ .

Este potencial se puede escribir en una forma más útil,

\begin{matrix} (1) & tu (\vec{r}) = \sum_{\vec{GRAMO}} {tu}_{\vec{GRAMO}} {mi}^{i \vec{GRAMO} \cdot \vec{r}} \end{matrix}

$U(\vec r )= \sum_{\vec G} U_{\vec G} e^{i \vec G \cdot \vec r }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tag{1}$ La suma puede ser absorbida

\vec{G} = {\vec{q}}_{1}, {\vec{q}}_{2}, {\vec{q}}_{1} + {\vec{q}}_{2}

$\vec G = \vec q_1, \vec q_2, \vec q_1 + \vec q_2$ y así sucesivamente, es decir

\vec{G} = \sum_{i = 1, 2, 3, . . .} n_{i} {\vec{q}}_{i}

$\vec G = \sum_{i=1,2,3,...} n_i \vec q_i$ . En este caso,

U_{\vec{G}} = U_{0}

$U_{\vec G} = U_{0}$ si

\vec{G} \in {\pm q \hat{x}, \pm q \hat{y}}

$\vec G \in \{ \pm q \hat x,\pm q\hat y\}$ y

U_{\vec{G}} = 0

$U_{\vec G} =0$ de lo contrario.

Usando esto, es fácil y bien conocido cómo encontrar el patrón de difracción.

La amplitud que un fotón con vector de onda $\vec k$ se dispersa a $\vec k'$ debido al cristal es

F = F_{Δ \vec{k} = {\vec{k}}^{'} - \vec{k}} = ⟨ {\vec{k}}^{'} | \hat{tu} | \vec{k} ⟩ \propto \int_{todo el espacio} d^{3} \vec{r} {mi}^{- i (Δ \vec{k}) \cdot \vec{r}} tu (\vec{r})

$F=F_{\Delta \vec k=\vec k' - \vec k}=\langle \vec k'|\hat U| \vec k \rangle \propto \int_{\text{all space}} d^3\vec r \;e^{-i(\Delta \vec k)\cdot \vec r} U(\vec r)\\$ Sustituyendo en el

U (\vec{r})

$U(\vec r)$ de la ecuación (1), vemos que la integral es igual a

\begin{matrix} (2) & \int_{todo el espacio} d^{3} \vec{r} {mi}^{- i (Δ \vec{k}) \cdot \vec{r}} tu (\vec{r}) = \sum_{\vec{GRAMO}} {tu}_{\vec{GRAMO}} \int_{todo el espacio} d^{3} \vec{r} {mi}^{- i (Δ \vec{k} - \vec{GRAMO}) \cdot \vec{r}} = \sum_{\vec{GRAMO} \in {\pm q \hat{X}, \pm q \hat{y}}} {tu}_{\vec{GRAMO}} \int_{todo el espacio} d^{3} \vec{r} {mi}^{- i (Δ \vec{k} - \vec{GRAMO}) \cdot \vec{r}} \end{matrix}

$\int_{\text{all space}} d^3\vec r \;e^{-i(\Delta \vec k)\cdot \vec r} U(\vec r)\\=\sum_{\vec G}U_{\vec G} \int_{\text{all space}} d^3\vec r \;e^{-i(\Delta \vec k- \vec G)\cdot \vec r}\\ =\sum_{\vec G \in \{ \pm q \hat x,\pm q\hat y\}}U_{\vec G} \int_{\text{all space}} d^3\vec r \;e^{-i(\Delta \vec k- \vec G)\cdot \vec r} \;\;\;\;\;\;\;\;\; \tag{2}$ En la última igualdad usé el hecho de que todos menos 4 de los

U_{\vec{G}}

$U_{\vec G}$ son

0

$0$ , por lo que solo tenemos que sumar los 4 relevantes

\vec{G}

$\vec G$ .

A partir de la ecuación (2), la dispersión solo ocurre cuando F no es cero, es decir, cuando los argumentos en la exponencial son 0. Por lo tanto,

Δ \vec{k} = {\pm q \hat{X}, \pm q \hat{y}}

$\Delta \vec k = \{ \pm q \hat x,\pm q\hat y\}$

Este resultado parece incorrecto. Teniendo en cuenta un potencial de red cuadrada de solo funciones delta en lugar de cosenos, habríamos esperado una dispersión igual en cada sitio de red recíproca hasta el infinito,

Δ \vec{k} = \vec{GRAMO}

$\Delta \vec k = \vec G$

Claramente, el potencial que estoy usando debería tener un resultado similar al potencial de la función delta. ¿Cuál es el patrón de difracción correcto aquí y qué estoy haciendo mal?

nasu

¿Por qué esperaría que su potencial de coseno produzca el mismo resultado que las funciones delta? ¿No es la función delta una suma infinita de cosenos?

mundo duque

¿Está sugiriendo que un cristal infinitamente periódico produce un patrón de difracción con solo 4 picos?

ytlu

Tu formulación es algo chapucera. Primero configure los dos vectores base

\vec{a}

$\vec a$ ,

\vec{b}

$\vec b$ , cada punto de red se puede escribir como

\vec{R} (n, m) = n \vec{a} + m \vec{b}

$\vec R(n, m) = n \vec a + m \vec b$ , Luego reduzca la integral de dispersión a una sola celda unitaria.

nasu

@MOndo Duke No sugerí nada. Solo hice una pregunta. Un potencial de cristal real no está descrito por un solo coseno, por lo que no tiene nada que ver con eso. Estás discutiendo la diferencia entre un coseno y una función delta.

mundo duque

@ytlu Entiendo que podría haber hecho eso. Pero estoy tratando de hacerlo de una manera más general que no se base en celdas unitarias.

mundo duque

@nasu Lo siento, sí, la función delta es una suma infinita de cosenos. Aunque no estoy seguro de que esto sea útil para nuestros propósitos.

ytlu

Desde

e^{i \vec{G} \cdot \vec{r}}

$e^{i\vec G \cdot \vec r}$ es una función periódica, hay otros puntos más brillantes además

Δ k = \pm q \hat{x} \pm q \hat{y}

$\Delta k = \pm q \hat x \pm q \hat y$ . Debe separar la integral en la celda unitaria (factor de forma) y una suma de fase sobre todas las celdas (condición de Bragg).

mundo duque

¿Qué pasaría si el potencial no fuera periódico, por ejemplo?

U (\vec{r}) = \sum_{k} \cos (\vec{r} \cdot {\vec{q}}_{k})

$U(\vec r) =\sum_{k} \cos(\vec r \cdot \vec q_k)$ dónde

{\vec{q}}_{k}

$\vec q_k$ están en ángulos igualmente espaciados tales como

2 π / 7

$2 \pi / 7$ ,

4 π / 7

$4 \pi/7$ Etcétera

mundo duque

También sé que el enfoque del libro de texto es correcto, pero ¿por qué mi enfoque es incorrecto?

ytlu

Tienes razón. En la siguiente publicación, encuentro que el factor de forma no desaparece solo para

Δ k = \pm q \hat{x} \pm q \hat{y}

$\Delta k = \pm q \hat x \pm q \hat y$ .

Respuestas (1)

Patrón de difracción para un cristal de coseno

¿Por qué esperaría que su potencial de coseno produzca el mismo resultado que las funciones delta? ¿No es la función delta una suma infinita de cosenos?
¿Está sugiriendo que un cristal infinitamente periódico produce un patrón de difracción con solo 4 picos?
Tu formulación es algo chapucera. Primero configure los dos vectores base $\vec a$ , $\vec b$ , cada punto de red se puede escribir como $\vec R(n, m) = n \vec a + m \vec b$ , Luego reduzca la integral de dispersión a una sola celda unitaria.
@MOndo Duke No sugerí nada. Solo hice una pregunta. Un potencial de cristal real no está descrito por un solo coseno, por lo que no tiene nada que ver con eso. Estás discutiendo la diferencia entre un coseno y una función delta.
@ytlu Entiendo que podría haber hecho eso. Pero estoy tratando de hacerlo de una manera más general que no se base en celdas unitarias.
@nasu Lo siento, sí, la función delta es una suma infinita de cosenos. Aunque no estoy seguro de que esto sea útil para nuestros propósitos.
Desde $e^{i\vec G \cdot \vec r}$ es una función periódica, hay otros puntos más brillantes además $\Delta k = \pm q \hat x \pm q \hat y$ . Debe separar la integral en la celda unitaria (factor de forma) y una suma de fase sobre todas las celdas (condición de Bragg).
¿Qué pasaría si el potencial no fuera periódico, por ejemplo? $U(\vec r) =\sum_{k} \cos(\vec r \cdot \vec q_k)$ dónde $\vec q_k$ están en ángulos igualmente espaciados tales como $2 \pi / 7$ , $4 \pi/7$ Etcétera
También sé que el enfoque del libro de texto es correcto, pero ¿por qué mi enfoque es incorrecto?
Tienes razón. En la siguiente publicación, encuentro que el factor de forma no desaparece solo para $\Delta k = \pm q \hat x \pm q \hat y$ .

ytlu · Answer 1

My following standard procedure of crystallography analysis verify your concerns.El factor de forma desaparece a excepción de $\Delta \vec k$ ser uno de los $\vec G_1$ 's.

Sigamos analizando tu integral.

\begin{aligned} F & = F_{Δ \vec{k} = {\vec{k}}^{'} - \vec{k}} \\ = ⟨ {\vec{k}}^{'} | \hat{tu} | \vec{k} ⟩ \\ \propto \int_{todo el espacio} d^{3} \vec{r} {mi}^{- i (Δ \vec{k}) \cdot \vec{r}} tu (\vec{r}) \\ = \sum_{\vec{GRAMO}} {tu}_{\vec{GRAMO}} \int_{todo el espacio} d^{3} \vec{r} {mi}^{- i (Δ \vec{k} - \vec{GRAMO}) \cdot \vec{r}} \\ (1) & = \sum_{{\vec{GRAMO}}_{1} = {\pm q \hat{X}, \pm q \hat{y}}} {tu}_{{\vec{GRAMO}}_{1}} \int_{todo el espacio} d^{3} \vec{r} {mi}^{- i (Δ \vec{k} - {\vec{GRAMO}}_{1}) \cdot \vec{r}} \end{aligned}

$\begin{align} F&=F_{\Delta \vec k=\vec k' - \vec k}\\ &=\langle \vec k'|\hat U| \vec k \rangle\\ & \propto \int_{\text{all space}} d^3\vec r \;e^{-i(\Delta \vec k)\cdot \vec r} U(\vec r)\\ &=\sum_{\vec G}U_{\vec G} \int_{\text{all space}} d^3\vec r \;e^{-i(\Delta \vec k- \vec G)\cdot \vec r}\\ &=\sum_{\vec G_1 = \{ \pm q \hat x,\pm q\hat y\}}U_{\vec G_1} \int_{\text{all space}} d^3\vec r \;e^{-i(\Delta \vec k- \vec G_1)\cdot \vec r} \tag{1} \end{align}$

Construyo la celda unitaria definiendo dos vectores base:

\begin{aligned} {\vec{a}}_{1} & = \frac{2 π}{q} \hat{X}; \\ {\vec{a}}_{2} & = \frac{2 π}{q} \hat{y} . \\ \vec{R} ({norte}_{1}, {norte}_{2}) & = {norte}_{1} {\vec{a}}_{1} + {norte}_{2} {\vec{a}}_{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \vec a_1 &= \frac{2\pi}{q} \hat x;\\ \vec a_2 &=\frac{2\pi}{q} \hat y.\\ \vec R(n_1,n_2) &= n_1 \, \vec a_1 + n_2 \,\vec a_2. \end{align}$ y el vector de celosía recíproco:

\begin{aligned} {\vec{b}}_{1} & = q \hat{X}; \\ {\vec{b}}_{2} & = q \hat{y} . \\ \vec{GRAMO} (h, k) & = h {\vec{b}}_{1} + k {\vec{b}}_{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \vec b_1 &= q \hat x;\\ \vec b_2 &= q \hat y.\\ \vec G(h,k) &= h \, \vec b_1 + k \,\vec b_2. \end{align}$ Tenga en cuenta que

\vec{R} \cdot \vec{GRAMO} = entero \times 2 π .

$\vec R \cdot \vec G = \text{integer} \,\times\, 2\pi.$

Con estos arreglos, reemplazamos la posición $\vec r$ con una coordinación dentro de la celda unitaria: $\vec r = \vec R(n_1, n_2) + \vec\rho$ , y reescriba la ecuación (1) como

\begin{aligned} F & = \sum_{{\vec{GRAMO}}_{1} = {\pm q \hat{X}, \pm q \hat{y}}} {tu}_{{\vec{GRAMO}}_{1}} \int_{todo el espacio} d^{3} \vec{r} {mi}^{- i (Δ \vec{k} - {\vec{GRAMO}}_{1}) \cdot \vec{r}} \\ = \sum_{{\vec{GRAMO}}_{1} = {\pm q \hat{X}, \pm q \hat{y}}} {tu}_{{\vec{GRAMO}}_{1}} \sum_{\vec{R} ({norte}_{1}, {norte}_{2})} \int_{celda unitaria} d^{3} \vec{r} {mi}^{- i (Δ \vec{k} - {\vec{GRAMO}}_{1}) \cdot (\vec{R} + \vec{ρ})} \\ = \sum_{\vec{R} ({norte}_{1}, {norte}_{2})} {mi}^{- i (Δ \vec{k} \cdot \vec{R})} \sum_{{\vec{GRAMO}}_{1} = {\pm q \hat{X}, \pm q \hat{y}}} {tu}_{{\vec{GRAMO}}_{1}} \int_{celda unitaria} d^{3} \vec{r} {mi}^{- i (Δ \vec{k} - {\vec{GRAMO}}_{1}) \cdot \vec{ρ}} \\ = \sum_{\vec{R} ({norte}_{1}, {norte}_{2})} {mi}^{- i (Δ \vec{k} \cdot \vec{R})} F_{1} (Δ \vec{k}) . \end{aligned}

$\begin{align} F &=\sum_{\vec G_1 = \{ \pm q \hat x,\pm q\hat y\}}U_{\vec G_1} \int_{\text{all space}} d^3\vec r \;e^{-i(\Delta \vec k- \vec G_1)\cdot \vec r}\\ &=\sum_{\vec G_1 = \{ \pm q \hat x,\pm q\hat y\}}U_{\vec G_1}\sum_{\vec R(n_1, n_2)}\int_{\text{unit cell}} d^3\vec r \;e^{-i(\Delta \vec k- \vec G_1)\cdot \left( \vec R + \vec \rho\right)} \\ &= \sum_{\vec R(n_1, n_2)} e^{-i(\Delta \vec k\cdot \vec R)}\,\,\sum_{\vec G_1 = \{ \pm q \hat x,\pm q\hat y\}}U_{\vec G_1}\int_{\text{unit cell}} d^3\vec r \;e^{-i(\Delta \vec k- \vec G_1)\cdot \vec \rho} \\ &= \sum_{\vec R(n_1, n_2)} e^{-i(\Delta \vec k\cdot \vec R)}\, f_1(\Delta\vec k). \end{align}$

La primera fase exponencial determina la condición de Bragg

Δ k = \vec{GRAMO} (h, k) para integradores arbitrarios h, k .

$\Delta k = \vec G(h, k)\,\, \text{ for arbitrary integrers } \, h, k.$

Finalmente examine el factor de forma para $\Delta k = \vec G(h, k) = h q \hat x+ k q \hat y$

\begin{aligned} F_{1} (Δ \vec{k}) & = \sum_{{\vec{GRAMO}}_{1}} \int_{tu norte i t C mi yo yo} d \vec{ρ} {tu}_{{\vec{GRAMO}}_{1}} {mi}^{- i (Δ \vec{k} - {\vec{GRAMO}}_{1}) \cdot \vec{ρ}} \\ = {tu}_{o} \int_{0}^{2 π / q} d X \int_{0}^{2 π / q} d y {mi}^{i q (h + 1) X + i (k + 1) y)} \\ + {tu}_{o} \int_{0}^{2 π / q} d X \int_{0}^{2 π / q} d y {mi}^{i q (h - 1) X + i (k - 1) y)} \\ + {tu}_{o} \int_{0}^{2 π / q} d X \int_{0}^{2 π / q} d y {mi}^{i q (h + 1) X + i (k - 1) y)} \\ + {tu}_{o} \int_{0}^{2 π / q} d X \int_{0}^{2 π / q} d y {mi}^{i q (h - 1) X + i (k + 1) y)} \end{aligned}

$\begin{align} f_1(\Delta \vec k)&= \sum_{\vec G_1}\int_{unit cell} d\vec\rho\,U_{\vec G_1} e^{-i(\Delta \vec k -\vec G_1)\cdot \vec \rho}\\ & = U_o \int_0^{2\pi/q} dx \int_0^{2\pi/q} dy e^{iq(h+1)x + i(k+1)y)}\\ & + U_o \int_0^{2\pi/q} dx \int_0^{2\pi/q} dy e^{iq(h-1)x + i(k-1)y)}\\ & + U_o \int_0^{2\pi/q} dx \int_0^{2\pi/q} dy e^{iq(h+1)x + i(k-1)y)}\\ & + U_o \int_0^{2\pi/q} dx \int_0^{2\pi/q} dy e^{iq(h-1)x + i(k+1)y)}\\ \end{align}$

El factor de forma desaparece, a excepción de $\Delta \vec k$ siendo uno de $\vec G_1$ 's.

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nasu

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ytlu

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ytlu

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