Patinador sobre hielo giratorio: necesita ayuda para comprender por qué el par es cero

Ignoremos la fricción entre el patín y el hielo, y también cualquier fuerza de empuje horizontal de la hoja que muerde el hielo. En esta situación, la única fuerza del hielo es directamente hacia arriba sobre los patines de hielo (la fuerza de reacción normal). La única otra fuerza que actúa es la gravedad, que actúa directamente hacia abajo. Si el centro de masa del patinador está por encima del punto donde el patín se encuentra con el hielo (si el patinador está girando sobre un patín), entonces la gravedad no hará que el patinador se caiga. En este caso, simplemente hay una fuerza hacia arriba y una fuerza hacia abajo igual. Ninguna de estas fuerzas hace que el patinador gire más o menos. Esto es lo que queremos decir cuando decimos que no hay torque.

Ok, entonces no hay torque neto.

Ahora, lo que sucede cuando entran los brazos es que hay una combinación de fuerzas internas: las fuerzas proporcionadas por los músculos, la piel y los huesos en este ejemplo. Estas fuerzas actúan de una manera bastante complicada si tratas de rastrearlas todas en detalle, porque a medida que el patinador gira, también lo hacen las direcciones de todas estas fuerzas internas. Una buena manera rápida de hacer el cálculo es notar primero (a partir de un argumento general) que las fuerzas internas no pueden cambiar el momento angular total. Pero cuando los brazos entran, la única manera de que el momento angular se mantenga constante es si la rotación se acelera. Entonces deducimos que la rotación debe acelerarse, como efectivamente se observa.

Pero este cálculo nos deja todavía preguntándonos ¿ cómo se aceleró la rotación? En última instancia, algunas partículas en el cuerpo del patinador se mueven más rápido que al principio, por lo que una fuerza interna debe haber actuado en una dirección para acelerarlas. Cuando el patinador retrae sus brazos, de hecho está proporcionando fuerzas internas que tienen un componente distinto de cero a lo largo de la dirección de movimiento de la parte exterior de su torso. La fuerza actúa en esta dirección circular. Esta parte es contraria a la intuición porque pensarías que las fuerzas solo actúan en la dirección radial, pero mientras la rotación cambia, existe esta situación más complicada. Esta fuerza interna de acción circular quita el momento angular de los brazos y se lo da al torso. El total$L_{\rm arms} + L_{\rm torso}$permanece constante. La tercera ley de Newton se mantiene así porque lo que se le quita a uno se le da al otro.

PD: en realidad, la cuchilla muerde el hielo y esto proporciona una fuerza horizontal que ayuda al patinador a mantenerse equilibrado. Pero esta fuerza actúa tan cerca del eje de rotación que cualquier par que produzca es insignificante.

Hay una cosa llamada momento de inercia de cuerpos extendidos. Es el salto fundamental que nos permite seguir haciendo mecánica, y lo tratamos como una especie de masa. Busque la definición, es una suma o integral de los puntos de masa por su posición al cuadrado sobre el eje de rotación.

Cuando la patinadora tiene los brazos extendidos entonces$I$es mucho más grande Sin embargo, en analogía con

Tenemos

Dónde$I$es el momento de inercia y$\omega$es la velocidad angular.

Así que si$I$se vuelve más pequeño$\omega$se vuelve más grande, porque no hay razón para$L$para cambiar en hielo.. :)

Para que ocurra el par (que es una tasa de cambio de$L$en el tiempo) necesitamos que se aplique una fuerza, y en este caso la fuerza debe aplicarse en la interfaz con el hielo, en forma de fricción. La fricción no es conservativa y genera calor en las superficies. Dado que se trata de hielo, el calor en la interfaz muy pequeña lo convertirá en agua y evitará que la fuerza de fricción ocurra, idealmente. Entonces no podemos tener fuerza, y por lo tanto no podemos tener torque, y por lo tanto es una interacción entre$\omega$y$I$que mantiene$L$constante en el tiempo.

1. De hecho, la segunda ley de Newton se aplica a los cuerpos rígidos. No hay restricción para aplicarlo solo a masas puntuales.

2. El par de la fuerza neta (que actúa sobre el cuerpo del patinador menos los brazos y los brazos mismos) no es cero. Las fuerzas tangenciales producirán un par neto distinto de cero$F_t$lo que acelerará tanto el cuerpo sin brazos del patinador como los dos brazos. Sin embargo, el par producido por la fuerza radial será cero cuando la línea de fuerza (línea que se obtiene al extender el vector de fuerza en ambos lados) pasa por el centro de masa.

3. No entendí esta pregunta. Si está hablando del momento de inercia, entonces sí, lo calcularemos integrando (sumando)$r^2 dm$por cada partícula de masa$dm$dónde$r$es la distancia de la partícula al eje de rotación.