Intuición detrás del par, la inercia rotacional y el momento angular

El punto de partida no debe ser tratar de conectar la física del movimiento de rotación con la traslación, sino que debe tratar de encontrar alguna cantidad conservada para el movimiento de rotación y derivar las leyes a partir de ahí.

Demos un paso atrás, al mirar las Leyes de Newton, pensemos en lo que realmente están diciendo, y tratemos de reducirlo al principio físico más puro; y esa es la Conservación del Momentum. La Primera Ley de Newton dice que cuando un sistema está aislado, su momento se conserva, y la combinación de la Segunda y la Tercera Ley es que cuando muchos sistemas interactúan, la suma de sus momentos se conserva.

Encontramos que al analizar el movimiento de rotación, la cantidad que se conserva es el momento angular; esto es un hecho físico. El momento angular se mide con referencia a un punto de pivote y puede definirse para una masa puntual y luego extenderse a todas las demás formas y distribuciones de masa a través de la linealidad (es decir, integración). Esta cantidad conservada de momento angular es:$L=mvr=mr^2\omega$.

Es a partir de este punto que trazamos una conexión entre el movimiento de rotación y el angular.$p=mv$y$L=mr^2 \omega$,$F=\frac{d}{dt}p=m\frac{d}{dt}v$y$\tau=\frac{d}{dt}L=mr^2 \frac{d}{dt}\omega$. El análogo de Force es esta cosa nueva que hemos definido$\tau$que es Torque, y el análogo de la masa es esta cosa nueva$mr^2$que es el Momento de Inercia.

Debo señalar que la existencia de estas cantidades conservadas no es aleatoria ni completamente inexplicable, son consecuencias de simetrías o invariancias en "nuestro mundo". Esto es lo que se conoce como el Teorema de Noether si está interesado en leer más.

En realidad, el cambio de velocidad es mayor cuando el par se aplica más lejos del centro de rotación.

Ha considerado que su inercia rotacional (I') varía según r pero es constante para un cuerpo dado, ya que es análoga a la masa.

Dado que el momento de inercia (I) es constante y la velocidad angular depende del punto de aplicación de la fuerza, es necesario tomar el par como rF

Pides algo más profundo que "funciona bien"

El momento angular, según la definición estándar, satisface un criterio de consistencia. Esa coherencia se trata de lo siguiente: cada vez que un objeto está en movimiento angular, puede definir una línea tangente instantánea, y el movimiento a lo largo de esa línea es un movimiento lineal.

Tomemos por ejemplo la energía cinética. Quiere consistencia entre la energía cinética rotacional y la energía cinética lineal.

Para un objeto en movimiento de circunnavegación con velocidad angular$\omega$la velocidad lineal correspondiente es$\omega r$

la relacion es$v=\omega r$es un enunciado geométrico, no un enunciado de física. Si acepta la geometría euclidiana, debe aceptar$v=\omega r$

Para ser coherente consigo mismo:

El objeto que circunnavega tiene una energía cinética particular (esta es energía cinética relativa al sistema de coordenadas inercial que es estacionario con respecto al centro de circunnavegación). Si la restricción que mantuvo el movimiento de circunnavegación se elimina instantáneamente, el movimiento del objeto cambia instantáneamente de movimiento de circunnavegación al movimiento lineal. Para mantener la coherencia, aún deberíamos atribuir la misma energía cinética a ese movimiento (energía cinética relativa al sistema de coordenadas de inercia que está estacionario con respecto a lo que hace un instante era el centro de circunnavegación).

energía cinética lineal:$\tfrac{1}{2}mv^2$

energía cinética de rotación$\tfrac{1}{2}m(r \omega)^2$

Si la distancia radial es constante podemos mover la distancia radial$r$fuera de los corchetes

energía cinética de rotación$\tfrac{1}{2}(m r^2) \omega^2$

La restricción es la autoconsistencia.
La idea es establecer circunstancias en las que haya una transición instantánea del movimiento angular al movimiento lineal; la energía cinética que atribuyes al movimiento debe permanecer igual.

Tienes que rechazar la analogía para entender las cosas más profundamente.

El momento lineal y angular no son dos cosas separadas, sino que existen juntas para describir el estado de momento general de un cuerpo rígido. Así como la velocidad lineal y angular existen juntas y describen dos cualidades del movimiento de un cuerpo. De hecho, la fuerza y ​​el momento de torsión también existen juntos para describir la carga de un cuerpo.

1. Puedes pensar en cómo una fuerza compensada$\boldsymbol{F}$provoca un par sobre el punto de referencia$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$.

2. O la velocidad de un cuerpo debido a una rotación.$\boldsymbol{\omega}$a través de un punto de compensación es$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}$.

3. Finalmente, el momento angular de una partícula con momento$\boldsymbol{p}$en una trayectoria desplazada es$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$

La idea clave aquí es que con lo anterior se les dio la compensación$\boldsymbol{r}$y alguna cantidad$\boldsymbol{A}$y calculamos el momento de esta cantidad$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{A}$. Entonces, el torque es el momento de la fuerza, el momento angular es el momento del momento y la velocidad es el momento de la rotación.

Pero esto también puede funcionar a la inversa. El momento de la cantidad$\boldsymbol{M}$se puede usar y decirnos dónde en el espacio el vector$\boldsymbol{A}$aunque se aplica. esto se hace con

Entonces, dados los pares de cantidades a continuación, así es como encontramos dónde actúan

1. el par$\boldsymbol{\tau}$representa el desplazamiento$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{F} \times \boldsymbol{\tau}}{F^2}$donde la fuerza$\boldsymbol{F}$actúa a través de.

2. La velocidad$\boldsymbol{v}$representa el desplazamiento$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}}{\omega^2}$donde la rotacion$\boldsymbol{\omega}$actúa a través de.

3. El momento angular$\boldsymbol{L}$representa el desplazamiento$\boldsymbol{r} = \frac{ \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}}{p^2}$donde impulso$\boldsymbol{p}$actúa a través de.

Las cantidades momento-de describen la geometría de la situación . La dirección y magnitud de una cantidad está descrita por su vector, pero donde existe este vector en el espacio está únicamente descrita por el momento de la cantidad.

Permítanme calificar lo que significa el eje donde actúa el impulso. Para una partícula, este eje pasa por el centro de masa, pero para un cuerpo rígido, no lo hace. A veces, esto se denomina eje de percusión y representa el punto y la dirección exactos en el espacio donde, si golpea un objeto, puede eliminar todo su movimiento (traslación y rotación).

Ejemplo

Piensa en una barra de volteo en el espacio que viene hacia ti y quieres detenerla. Si lo golpeas en su centro de masa, detendrás su traslación en el espacio, pero no su rotación. Para detener tanto la traslación como la rotación, debe perforarlo en una ubicación específica dada por la fórmula anterior.

Si en algún instante el movimiento combinado hace que el eje de rotación esté a una distancia$c$del centro de masa, y el cuerpo tiene un radio de giro$\kappa$, entonces el punto de percusión$x$está ubicado al otro lado del centro de masa del eje de rotación a una distancia

Este cálculo es puramente geométrico ya que solo involucra distancias y se puede derivar fácilmente usando la expresión vectorial anterior.

En el sentido clásico, una fuerza es una agencia externa que tiende a cambiar el estado de reposo o movimiento uniforme de un cuerpo.

El torque es el análogo rotacional de la fuerza que tiende a rotar el cuerpo. Ahora bien, ¿por qué no se tiene en cuenta únicamente la fuerza tangencial? Es porque la fuerza tangencial solo impartirá una aceleración tangencial a un cuerpo y no cambiará su dirección, lo cual es necesario para el movimiento angular. También necesita una aceleración centrípeta para el cambio de dirección.

En un cuerpo en movimiento lineal, la masa del cuerpo es la medida de su inercia. Más masivo el cuerpo, más inercia. Pero para un cuerpo giratorio, cuanto más se concentra la masa cerca del eje de rotación, menor es la inercia.

El par aumenta con el aumento de$r$porque requiere una fuerza menor por unidad de distancia para girar el cuerpo y, por lo tanto, se requiere una potencia menor para girar el objeto.

Considere una barra delgada sin masa con un eje sin fricción en un extremo. La barra soporta una masa puntual (m) a una distancia (r) del eje. Una fuerza (F) (perpendicular a la varilla y al eje) empuja la varilla a una distancia (R) del eje, provocando una aceleración angular (α) y un desplazamiento angular (θ). El trabajo realizado por la fuerza (actuando a lo largo de un arco), F(Rθ), es transmitido por la varilla a la masa puntual, (ma)(rθ) = (mrα)(rθ). Igualando estos y dividiendo por (θ) se obtiene: FR = (m$r^2$)α o τ = Iα. Esta lógica se puede extender a cualquier número de fuerzas y masas, y dar la mejor definición: “El par es el trabajo por unidad de ángulo de rotación (en julios/radianes) que puede realizar una fuerza que actúa de una manera que tiende a causar una rotación.” Tenga en cuenta que esto requiere un componente tangencial de fuerza (y una distancia).