¿Paradoja de la Óptica de Fourier del Microscopio Corregido al Infinito?

La segunda lente muestra la amplitud del plano focal posterior de Fourier de la primera lente a su propio plano focal posterior, ¡pero cambia su fase en el camino! Esto significa que su primer dibujo es incorrecto a partir de la segunda lente. Para hacerlo bien, ha incluido la función de transferencia de una lente$a(x,y) \sim e^{-i\pi \frac{x^2+y^2}{\lambda f}}$(ver las notas aquí ).

Más detalladamente, el campo óptico$2f_2$a la izquierda de la segunda lente está dada por

$$\psi(x,y,z=2f_2) = A(x,y) e^{i\phi(x,y)}$$

En el plano backfocal ($2f_2$a la derecha de la segunda lente), obtienes

$$\psi'(x,y,z=-2f_2) = A(-x,-y) e^{i\phi'(x,y)}$$

Es decir, el objeto sufre una ampliación de$-1$a través de la segunda lente.

Entonces, si bien es cierto que el patrón de intensidad$I(x,y) = \vert \psi(x,y)\vert^2$en$+2f_2$y$-2f_2$son idénticos (inversión total del módulo), sus fases son muy diferentes en general$\phi(x,y) \neq \phi'(x,y)$. Si tu envías$\psi'(x,y)$a través de la tercera lente con el formalismo de la función de transferencia completa, encontrará que no da como resultado el objeto inicial, en contraste con su primera imagen.

Los dos campos ópticos antes y después de la segunda lente solo serán idénticos (inversión de módulo) en condiciones de "iluminación de onda plana" donde$\phi(x,y)=\mathrm{const.}$y por lo tanto$\phi'(x,y)=\mathrm{const.}$. Es por eso que necesita una configuración como la que se muestra en la Figura 1 de estas notas para que la propiedad de la transformada de Fourier funcione en la práctica.

Lanzando mi propia respuesta que encontré después de las sugerencias útiles de las otras respuestas. Consulte "Introducción a la óptica de Fourier" de Joseph Goodman, capítulo 5, así como la referencia allí citada: M. Nazarathy y J. Shamir, "Óptica de Fourier descrita por el álgebra de operadores", J. Opt. Soc. Soy. 70, 150-159 (1980)

Goodman introduce una buena notación de operadores que hace que sea muy fácil evaluar la propagación de ondas en el límite de Fresnel/paraxial. Aquí deseamos calcular la propagación de la onda desde el primer plano de Fourier en las imágenes del OP hasta la supuesta "imagen" del plano de Fourier. Esto es solo un análisis de un sistema de imágenes de una sola lente.

La idea es que a la entrada del sistema tengamos algún campo escalar$U_0(x,y)$y deseamos calcular el campo en la salida,$U_f(x,y)$, después de que el campo se haya propagado a través del espacio libre y componentes ópticos como lentes. la idea es que

$$U_f(x,y) = SU_0(x,y)$$

Dónde$S$es algún operador general que actúa sobre el campo de entrada.$S$puede ser una cascada de múltiples operadores, como la propagación en el espacio libre y el paso a través de lentes. Goodman presenta algunos operadores útiles para ayudar en estos cálculos:

• $R[d]$, propagación en el espacio libre de distancia$d$:

  $$\begin{align} R[d]U(x,y) =& \frac{1}{ijd} \int U(x', y') e^{i\frac{\pi}{\lambda d} ((x-x')^2 + (y-y')^2)} dx' dy'\\ =& (U \ast g_d)(x,y) \end{align}$$ dónde$\ast$indica convolución y el kernel de propagación de Fresnel es $$g_d(x,y) = \frac{1}{ijd} e^{i\frac{\pi}{\lambda d}(x^2 + y^2)}$$

• $Q[c]$, multiplicación por un factor de fase cuadrático:

$$Q[c]U(x,y) = e^{i\frac{\pi}{\lambda} c(x^2 + y^2)} U(x,y)$$

• $V[b]$, reescalado de una función:

$$V[b]U(x,y) = \frac{1}{b}U(bx, by)$$

• $\mathcal{F}$y transformada de Fourier:

$$\mathcal{F}U(x,y) = \int U(x,y) e^{-i 2\pi(k_x x + k_y y)} dx dy$$

Una lente de distancia focal$f$promulga el operador de fase cuadrático, es decir

$$L[f] = Q\left[-\frac{1}{f}\right]$$

El sistema de distancia de propagación.$d_1$, paso a través de una lente de distancia focal$f$, y luego propagación de nuevo distancia$d_2$viene dado por (eliminando algunos factores de fase global)

$$\begin{align} S = R[d_2]Q\left[-\frac{1}{f}\right]R[d_1] \end{align}$$

Supondremos que la ecuación de formación de la imagen$\frac{1}{d_1} +\frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$está satisfecho (por ejemplo$d_1 = d_2 = 2f$).

No entraré en detalles aquí, pero en ambas referencias se demuestra una serie de identidades de operadores que permiten la simplificación de este sistema para

$$\begin{align} S = Q\left[\frac{d_1+d_2}{d_2^2}\right]V\left[-\frac{d_1}{d_2}\right] \end{align}$$

Esto nos dice que la imagen en el plano final es una versión de la imagen original recién reescalada (como lo indica el$V$) por la ampliación$M = -\frac{d_1}{d_2}$y con el factor de fase adicional descrito por el$Q$.

Este es exactamente el factor de fase adicional descrito en las respuestas anteriores, esto solo da una medida cuantitativa de cuán grande es ese factor de fase. En los casos en los que solo interesa la magnitud de la señal final, es evidente que este factor de fase no tendrá efecto. Creo que es por eso que nunca aparece en las discusiones sobre la óptica de rayos. Sin embargo, cuando se considera la óptica de ondas, y especialmente la óptica de transformada de Fourier, estas fases pueden estropear la transformada de Fourier.

La óptica de rayos y la óptica de ondas son igualmente capaces de describir su configuración óptica. La óptica ondulatoria también es capaz de describir los efectos de la interferencia, la difracción y la polarización. Esto hace que sea necesario considerar siempre la intensidad y la fase cuando se utiliza el modelo de onda. La fase es lo que no consideró al describir el efecto de la segunda lente que conduce a un resultado incorrecto para el enfoque de la óptica de ondas. El formalismo de la transformada de Fourier se puede utilizar para describir la conexión entre el campo de ondas en el plano focal frontal de una lente con el campo de ondas en el plano focal posterior. Para llegar a diferentes distancias a la lente, debe calcular la propagación correspondiente del campo de ondas para lo cual debe usar la intensidad y la fase del campo de ondas.

El ejemplo de un campo de onda simple que consta de dos frentes de onda podría ilustrar lo que sucede en el sistema óptico que describe:

Supongamos dos fuentes de luz puntuales en el plano del objeto. Una fuente de luz puntual en el eje óptico y otra a una distancia del eje óptico. Ambos emiten un frente de onda esférico que incidirá en la primera lente. Esta lente convierte los frentes de onda esféricos en frentes de onda planos (es decir, colima la luz) ya que el plano del objeto está a una distancia focal de la primera lente. La luz de la segunda fuente de luz (el segundo frente de onda) es una onda plana inclinada después de la primera lente (es decir, la luz colimada tiene un ángulo con el eje óptico) porque la segunda fuente de luz no está ubicada en el eje óptico. Ambos frentes de onda no cambian de forma cuando se propagan al plano focal posterior de la primera lente (los efectos de las aperturas de las lentes se ignoran aquí por simplicidad). El patrón de interferencia de dos ondas planas en ángulo muestra franjas rectas de igual distancia. Estos patrones de intensidad en forma de seno son las frecuencias espaciales que describe la teoría de Fourier. (Al invertir la dirección de la luz y la transformación de Fourier, se muestra que el punto fuera del eje (es decir, la fuente de luz del segundo punto) es la representación de Fourier de la frecuencia espacial del patrón de interferencia).

Luego, los dos frentes de onda se propagan más hacia el plano focal frontal de la segunda lente, manteniendo aún su forma y dirección, ya que esta es la propiedad de la propagación de ondas planas en el espacio libre. Ahora puede usar el método de la transformada de Fourier para llegar al plano focal posterior de la segunda lente (en principio, la operación inversa a la de la primera lente) o usar la propiedad de las lentes de que transforman una onda plana en una onda esférica con un radio de curvatura de la distancia focal de la lente. Un frente de onda esférico curvado positivamente converge en un punto en su centro de curvatura. De cualquier manera, obtienes dos puntos de luz en el plano focal posterior que son las imágenes de tu objeto como ya mostraste con el modelo de rayos y la fórmula de formación de imágenes.

en la posición$2f_2$detrás de la segunda lente interfieren dos frentes de onda esféricos. Esto da un patrón de flecos rectos (ver, por ejemplo, aquí en la página 2.13). Esta es una imagen del patrón de interferencia.$2f_2$antes de la segunda lente con respecto a la distribución de intensidad, pero no es una copia del campo de onda ya que la distribución de fase es obviamente completamente diferente. Ese es el error en su descripción de la imagen de Fourier que equipara la distribución de intensidad y el campo de onda.

La tercera lente genera una imagen de los dos puntos de luz.$f_2+f_3$frente a la tercera lente. Es un cálculo largo para describir la formación de imágenes de la tercera lente con propagación de frente de onda y teoría de Fourier. Para imágenes complejas se suele hacer con algoritmos numéricos de propagación de frente de onda. La matemática para esto se esboza en la respuesta de jgerber. Omitiré esto porque ya vimos que el modelo de ondas da el mismo resultado para la formación de imágenes que el modelo de rayos. Una descripción visual simplificada sería que la luz de las fuentes de luz puntuales formará un frente de onda esférico con un radio de curvatura de$-(f_2+f_3)$en la posición de la tercera lente. La lente convertiría una onda esférica de radio de curvatura de$-f_3$en una onda plana, pero como tenemos un frente de onda con menos curvatura, la lente sobrecompensa y genera un frente de onda esférico de radio de curvatura positivo. Este frente de onda luego converge en un punto en una posición más allá del plano focal posterior de la tercera lente. Como ya se dijo, esta posición de la imagen se calcula más fácilmente con la fórmula de formación de imágenes como lo hizo en el texto de la pregunta.