Diferencia entre la aproximación paraxial y la aproximación de Fresnel

Actualmente estoy leyendo literatura sobre difracción (especialmente la difracción de Rayleigh/Sommerfeld, o el método equivalente de Fourier), y me tropiezo con los términos "aproximación paraxial" y "aproximación de Fresnel" todo el tiempo. ¿Cuál es la diferencia exacta entre estos dos términos, o cuál es la definición exacta de estos términos? ¿Qué expresiones matemáticas son aproximadas y en qué casos?

Actualmente estoy calculando la transformada de Fourier de la función de transferencia de espacio libre

H ( X , y , z ) = F ( X , y ) ( mi i z k 2 − k X 2 − k y 2 )

Usando la suposición de que el campo (que sufre difracción) contiene solo tales componentes espectrales con k 2 ≫ k X 2 (esa sería una restricción que aplica a todo el campo difractado), puede aproximar la función exponencial para que sea

mi i z k 2 − k X 2 − k y 2 ≈ mi i k z − i 2 k z ( k X 2 + k y 2 )

Si luego calcula la respuesta al impulso (la transformada de Fourier), llega a ondas parabólicas que se propagan desde cada punto de la superficie que contiene la estructura de difracción. ¿Qué aproximación usé aquí? ¿Aproximación de Fresnel o aproximación paraxial?

Respuestas (2)

En pocas palabras, a partir de la ecuación de Helmholtz se puede deducir la fórmula de difracción de Rayleigh-Sommerfeld. Además, con la aproximación paraxial se deduce la fórmula de difracción de Fresnel.

En matemáticas, para onda tu 0 ( r ) distancia de propagación z como tu z ( r ) , por la ecuación de Rayleigh-Sommerfeld:

tu z ( r ) = − 1 2 π tu 0 ( r ) ⋆ 1 2 π z mi j k R R 3 ( 1 − j k R ) ,

dónde r = ( X , y ) , R = X 2 + y 2 + z 2 , k el número de onda, ⋆ denota convolución.

Para obtener la fórmula de Fresnel, necesita:

  • z ≫ ‖ r ‖ . Y por lo tanto: R = ‖ r ‖ 2 + z 2 ≈ z + ‖ r ‖ 2 2 z .

  • z ≫ λ . Esto lleva a: k R ≫ 1 .

Con estas dos aproximaciones, obtienes la fórmula de Frenel:

tu z ( r ) = tu 0 ( r ) ⋆ mi j k z j λ z mi j k ‖ r ‖ 2 2 z .

La aproximación paraxial y la aproximación de Fresnel son, en esencia, lo mismo. Es solo que la aproximación paraxial tiende a usarse en relación con las ecuaciones diferenciales mientras que la aproximación de Fresnel se usa en el contexto de la expresión integral.

Partiendo de la ecuación de Helmholtz, se puede aplicar la aproximación paraxial para obtener la ecuación de onda paraxial. (A petición puedo insertar las expresiones pertinentes.) Las soluciones de la ecuación de onda paraxial están en forma de haces gaussianos (Laguerre-Gaussian, Hermite Gaussian, etc.). Los haces gaussianos no son soluciones de la ecuación de Helmholtz.

Por otro lado, uno puede usar un enfoque de ecuación integral, como lo ha hecho, y luego aplicar la aproximación de Fresnel para modificar el argumento en la exponencial del kernel. El resultado es la integral de propagación de Fresnel.

Para comprobar que estos dos enfoques dan el mismo resultado. Comience con la forma gaussiana bidimensional de un haz gaussiano en su cintura. Luego aplique la propagación de Fresnel sobre una distancia arbitraria z . Encontrarás una expresión que es igual a la solución de la ecuación de onda paraxial.

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