Óptica de Fourier: respuesta de impulso del espacio libre de la función de transferencia de Fresnel

Question

Óptica de Fourier: respuesta de impulso del espacio libre de la función de transferencia de Fresnel

óptica
Física
fotónica
Transformada de Fourier

pastelero

Actualmente estoy leyendo el capítulo "Óptica de Fourier" en el libro "Fundamentos de fotónica" de Saleh y Teich. Sin embargo, no puedo seguir una derivación matemática específica.

En la página 111 se deriva la función de transferencia del espacio libre

H (v_{X}, v_{y}) = Exp (- j 2 π d \sqrt{λ^{- 2} - v_{X}^{2} - v_{y}^{2}}) .

$H(\nu_x, \nu_y) = \text{exp}(-j 2 \pi d \sqrt{\lambda^{-2} - \nu_x^2 - \nu_y^2}).$

$d$ es la distancia que recorre la luz desde el plano de entrada hasta el plano de salida. $\lambda$ es la longitud de onda y $\nu_x$ y $\nu_y$ son los componentes de frecuencia espacial.

Después de eso, esta fórmula se simplifica utilizando la aproximación de Fresnel, para la cual se supone que los componentes de frecuencia $\nu_x$ y $\nu_y$ en la onda de entrada son mucho más pequeños que el ancho de banda del sistema $\lambda^{-1}$ . La función de transferencia aproximada resultante es

H_{Fresnel} (v_{X}, v_{y}) = Exp (j π λ d (v_{X}^{2} + v_{y}^{2})) \cdot Exp (- j k d) .

$H_{\text{Fresnel}}(\nu_x, \nu_y) = \text{exp}(j \pi \lambda d (\nu_x^2 + \nu_y^2)) \cdot \text{exp}(-j k d).$

Esto todavía tiene sentido para mí, todo está bien hasta ahora. Sin embargo, después de eso, derivan la respuesta de impulso del sistema aplicando la transformada inversa de Fourier a la función de transferencia. $H_{\text{Fresnel}}$ . La función resultante es

h (X, y) \approx \frac{j}{λ d} \cdot Exp (- j k d) \cdot Exp (- j k \frac{X^{2} + y^{2}}{2 d}) .

$h(x,y) \approx \dfrac{j}{\lambda d} \cdot \text{exp}(-j k d) \cdot \text{exp}(-j k \dfrac{x^2+y^2}{2 d}).$

Y, sinceramente, no tengo ni idea de cómo llegan a esa expresión. el inverso de fourier es

h (X, y) \approx \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} H_{Fresnel} (v_{X}, v_{y}) \cdot Exp (- j 2 π (v_{X} X + v_{y} y)) d v_{X} d v_{y} .

$h(x, y) \approx \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} H_{\text{Fresnel}}(\nu_x, \nu_y) \cdot \text{exp}(-j 2 \pi (\nu_x x + \nu_y y)) d\nu_x d\nu_y.$

Pequeña anotación: por alguna razón, cambiaron los signos en la transformada de Fourier en contraste con la notación estándar.

Entonces la pregunta central es: ¿Cómo resolvieron esta integral? Hay una tabla de correspondencia al final del libro, pero no tengo ni idea de cómo debería ayudar. Atentamente

hyportnex

vea la línea 206 en la tabla de en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform (creo que tiene un error de signo en la ecuación para

H_{f r e s n e l}

$H_{fresnel}$ )

pastelero

@hyportnex Tenía razón sobre el error de signo, pero la correspondencia sugerida no funciona porque

R e (α) = 0

$Re(\alpha) = 0$

hyportnex

¿Ha escuchado/aprendido acerca de la continuación analítica? La línea "206" tal como está escrita es verdadera para cualquier complejo

α

$\alpha$ que tiene

R e [α] \geq 0

$Re[\alpha] \ge 0$ de lo contrario, la integral no es convergente. Es una práctica estándar en el análisis de transformada de Fourier (o Laplace) desarrollar una fórmula que sea válida en el semiplano superior abierto (o derecho) cuyo límite es el eje real (o imaginario) en el que la continuación analítica le da la respuesta que está buscando . buscando.

Respuestas (2)

Óptica de Fourier: respuesta de impulso del espacio libre de la función de transferencia de Fresnel

vea la línea 206 en la tabla de en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform (creo que tiene un error de signo en la ecuación para $H_{fresnel}$ )
@hyportnex Tenía razón sobre el error de signo, pero la correspondencia sugerida no funciona porque $Re(\alpha) = 0$
¿Ha escuchado/aprendido acerca de la continuación analítica? La línea "206" tal como está escrita es verdadera para cualquier complejo $\alpha$ que tiene $Re[\alpha] \ge 0$ de lo contrario, la integral no es convergente. Es una práctica estándar en el análisis de transformada de Fourier (o Laplace) desarrollar una fórmula que sea válida en el semiplano superior abierto (o derecho) cuyo límite es el eje real (o imaginario) en el que la continuación analítica le da la respuesta que está buscando . buscando.

pastelero · Answer 1

Creo que pude resolver el problema aplicando el mismo método que se menciona aquí . Sin embargo, mi solución todavía difiere en un factor constante de la solución del libro, así que tal vez todavía no sea del todo correcta.

Si miras $h(x, y)$ uno puede ver fácilmente que se puede separar como

h (X, y) = k \cdot F (X) \cdot F (y) .

$h(x, y) = K \cdot f(x) \cdot f(y).$ con

f (x) = e^{\frac{- j k x^{2}}{2 d}} = e^{j a x^{2}}, a = \frac{- k}{2 d}

$f(x) = e^{\dfrac{-j k x^2}{2 d}} = e^{j a x^2}, a = \dfrac{-k}{2 d}$ y

K = e^{- j k d}

$K = e^{-j k d}$ .

Entonces, si sabemos cómo hacer la transformada de Fourier $f(x)$ , el problema está más o menos resuelto.

si diferenciamos $f(x)$ , obtenemos la siguiente ecuación

\frac{d F (X)}{d X} = F (X) \cdot 2 j a X .

$\dfrac{d f(x)}{dx} = f(x) \cdot 2 j a x.$

Permite que Fourier lo transforme con las correspondencias conocidas.

j ω F (ω) = \frac{d F (ω)}{d ω} 2 j a .

$j \omega F(\omega) = \dfrac{d F(\omega)}{d \omega} 2ja.$

esto nos da

\frac{d F (ω)}{d ω} = F (ω) \cdot \frac{ω}{2 a j} .

$\dfrac{d F(\omega)}{d \omega} = F(\omega) \cdot \dfrac{\omega}{2 a j}.$

Podemos ver eso

F (ω) = Exp (\frac{- j ω^{2}}{4 a})

$F(\omega) = \text{exp}(\dfrac{-j \omega^2}{4a})$ es una solución de la ecuación diferencial.

No, podemos reemplazar $a$ y $k = \dfrac{2 \pi}{\lambda}$

F (ω) = Exp (\frac{j ω^{2} d λ}{4 π})

$F(\omega) = \text{exp}(\dfrac{j \omega^2 d \lambda}{4 \pi})$ y con

ω = 2 π ν

$\omega = 2\pi \nu$ obtenemos

F (v) = Exp (j π λ d v^{2}) .

$F(\nu) = \text{exp}(j \pi \lambda d \nu^2).$

Reemplazar todo nos da

H (v_{X}, v_{y}) = \frac{j}{λ d} Exp (- j k d) Exp (j λ d π (v_{X}^{2} + v_{y}^{2})) .

$H(\nu_x, \nu_y) = \dfrac{j}{\lambda d} \text{exp}(-j k d) \text{exp}(j \lambda d \pi (\nu_x^2+\nu_y^2)).$

Por alguna razón el factor $\dfrac{j}{\lambda d}$ todavía está mal, pero esa es la mejor respuesta que pude derivar.

Atentamente

mike piedra · Answer 2

Recuerda que por $a>0$ la integral de Fresnel es

\int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{i a X^{2}} = {mi}^{i π / 4} \sqrt{\frac{π}{a}},

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{iax^2} = e^{i\pi/4} \sqrt{\frac \pi{a}},$
debido a la necesidad de empujar el contorno fuera del eje real con

x = e^{i π / 4} t

$x= e^{i\pi/4}t$ . Tu integral tiene el producto de dos integrales de Fresnel

x

$x$ veces

y

$y$ y asi lo tienes

{[{mi}^{i π / 4} \sqrt{\frac{π}{a}}]}^{2} = \frac{π i}{a} .

$\left[e^{i\pi/4} \sqrt{\frac \pi{a}}\right]^2= \frac{\pi i}{a}.$

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