Óptica del ojo: ¿vemos transformadas de Fourier?

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Óptica del ojo: ¿vemos transformadas de Fourier?

óptica
visión
Física
Transformada de Fourier

usuario5335

Recientemente aprendí sobre la óptica de Fourier, específicamente, que una lente delgada puede producir la transformada de Fourier de un objeto en una pantalla ubicada en el plano focal.

Con esto en mente, ¿el cristalino del ojo humano produce una transformada de Fourier en la retina?

Cualquier ayuda apreciada

colin k

Sí. Pero no tengo tiempo para una respuesta completa en este momento. En resumen, una lente produce la transformada de Fourier del campo en la pupila de entrada. La sutileza aquí es que el campo en la pupila no necesariamente se parece en nada al objeto que está imaginando. De hecho, se parece mucho a la transformada de Fourier del objeto. Ahora empieza a pensar en cómo se ve la transformada de Fourier de la transformada de Fourier del objeto...

Ron Maimón

@ColinK: la óptica clásica nunca puede producir una transformada de Fourier, ya que esto requiere la adición de fase. La lente no hace esto.

tomate

@RonMaimon: ¿qué? Creo que estás confundiendo la óptica clásica y la óptica geométrica. La óptica clásica, lo "opuesto" a la óptica cuántica, es una óptica que se puede explicar sin usar fotones. Específicamente, para explicar las lentes transformadas de Fourier, necesita la óptica de onda paraxial, que está firmemente en el dominio clásico.

Ron Maimón

@ptomato: Ya veo --- por "clásico" quise decir "geométrico" como en el límite de trayectoria clásico para ondas de luz. El aspecto de onda no importa para cualquier visión normal --- No hay transformada de Fourier involucrada en reflejar la luz de algo y enfocarla en una retina. La única vez que ocurre una transformada de Fourier es cuando la luz se difracta alrededor de un objeto pequeño, y luego una lente colocada correctamente llevará las ondas de difracción a puntos definidos en diferentes ubicaciones en una pantalla. Esto es lo que describe el artículo de Wikipedia. Su afirmación de que el campo de la lente es un FT de la imagen es incorrecta.

tomate

@RonMaimon, nunca quise dar a entender que la imagen de la lente es una transformada de Fourier. No es mi declaración y estoy de acuerdo contigo en que está mal. Escribiré una respuesta explicando lo que quiero decir.

Ron Maimón

@ptomato: No lo hiciste, pero Colin K dice explícitamente que una lente está haciendo una transformada de Fourier del campo de luz en la lente al foco. Esto es falso, está haciendo una transformada diferente, con una pieza cuadrática, que tiene la propiedad de que la pieza cuadrática reproduce una función delta sobre la trayectoria de la óptica geométrica para cualquier distancia apreciable mucho mayor que la longitud de onda. La única vez que calcula una transformada de Fourier es cuando cancela la parte cuadrática, lo que ocurre en caminos geométricos, y a lo largo de patrones de difracción, donde cancela la parte cuadrática.

colin k

"y a lo largo de los patrones de difracción, donde cancelas la parte cuadrática" No. Todos los patrones de iluminación son patrones de difracción. La fase cuadrática se va entre planos conjugados.

Ron Maimón

@ColinK: Sí, todos sabemos y todos estamos de acuerdo en que toda iluminación es un patrón de difracción. Esto no es útil para responder a la pregunta, es un hecho demasiado general. El patrón de difracción que ve en la retina en el caso del ojo es un patrón de difracción trivial , es el patrón de difracción de la abertura del ojo, que parece sen(x)/x --- gran protuberancia central con anillos secundarios alrededor en una escala diminuta, diminuta. Esto es lo que la función de dispersión de puntos es para el ojo. La posición donde aparece esto para la hoja de luz entrante es a lo largo del camino de la óptica geométrica.

Ron Maimón

La "pieza de fase cuadrática desaparece entre planos conjugados" es solo otra forma de decir que la lente concentra el plano en un punto cercano. Esto funciona para la luz que entra en un ángulo pequeño: se enfoca en otro punto. La cancelación de fase ocurre normalmente cuando un plano se enfoca en un punto recto, pero si hay una rejilla de difracción en f, con características grandes, de modo que el patrón de difracción es de ángulo pequeño, cada una de las ondas difractadas que salen se enfocan por la lente en un punto diferente, como si viniera del infinito.

Ron Maimón

@ColinK: Debo decir que "sin (x)/x" es solo una imagen cualitativa, antes de que saltes sobre esta afirmación como incorrecta también. Esto es para una apertura 1d, y el ojo es una apertura 2d. La declaración que hice sobre la "pieza de fase cuadrática que se aleja a lo largo de un camino recto" es solo la declaración de que si sumas una secuencia de fases a lo largo de una línea recta, se suman en fase, pero no a lo largo de una trayectoria de flexión. Pero se suman a lo largo de una curva para una rejilla de ángulo pequeño, lo que se debe a las cancelaciones cerca de la rejilla y a la posterior propagación del frente de onda como si viniera del infinito.

Respuestas (6)

Óptica del ojo: ¿vemos transformadas de Fourier?

Sí. Pero no tengo tiempo para una respuesta completa en este momento. En resumen, una lente produce la transformada de Fourier del campo en la pupila de entrada. La sutileza aquí es que el campo en la pupila no necesariamente se parece en nada al objeto que está imaginando. De hecho, se parece mucho a la transformada de Fourier del objeto. Ahora empieza a pensar en cómo se ve la transformada de Fourier de la transformada de Fourier del objeto...
@ColinK: la óptica clásica nunca puede producir una transformada de Fourier, ya que esto requiere la adición de fase. La lente no hace esto.
@RonMaimon: ¿qué? Creo que estás confundiendo la óptica clásica y la óptica geométrica. La óptica clásica, lo "opuesto" a la óptica cuántica, es una óptica que se puede explicar sin usar fotones. Específicamente, para explicar las lentes transformadas de Fourier, necesita la óptica de onda paraxial, que está firmemente en el dominio clásico.
@ptomato: Ya veo --- por "clásico" quise decir "geométrico" como en el límite de trayectoria clásico para ondas de luz. El aspecto de onda no importa para cualquier visión normal --- No hay transformada de Fourier involucrada en reflejar la luz de algo y enfocarla en una retina. La única vez que ocurre una transformada de Fourier es cuando la luz se difracta alrededor de un objeto pequeño, y luego una lente colocada correctamente llevará las ondas de difracción a puntos definidos en diferentes ubicaciones en una pantalla. Esto es lo que describe el artículo de Wikipedia. Su afirmación de que el campo de la lente es un FT de la imagen es incorrecta.
@RonMaimon, nunca quise dar a entender que la imagen de la lente es una transformada de Fourier. No es mi declaración y estoy de acuerdo contigo en que está mal. Escribiré una respuesta explicando lo que quiero decir.
@ptomato: No lo hiciste, pero Colin K dice explícitamente que una lente está haciendo una transformada de Fourier del campo de luz en la lente al foco. Esto es falso, está haciendo una transformada diferente, con una pieza cuadrática, que tiene la propiedad de que la pieza cuadrática reproduce una función delta sobre la trayectoria de la óptica geométrica para cualquier distancia apreciable mucho mayor que la longitud de onda. La única vez que calcula una transformada de Fourier es cuando cancela la parte cuadrática, lo que ocurre en caminos geométricos, y a lo largo de patrones de difracción, donde cancela la parte cuadrática.
"y a lo largo de los patrones de difracción, donde cancelas la parte cuadrática" No. Todos los patrones de iluminación son patrones de difracción. La fase cuadrática se va entre planos conjugados.
@ColinK: Sí, todos sabemos y todos estamos de acuerdo en que toda iluminación es un patrón de difracción. Esto no es útil para responder a la pregunta, es un hecho demasiado general. El patrón de difracción que ve en la retina en el caso del ojo es un patrón de difracción trivial , es el patrón de difracción de la abertura del ojo, que parece sen(x)/x --- gran protuberancia central con anillos secundarios alrededor en una escala diminuta, diminuta. Esto es lo que la función de dispersión de puntos es para el ojo. La posición donde aparece esto para la hoja de luz entrante es a lo largo del camino de la óptica geométrica.
La "pieza de fase cuadrática desaparece entre planos conjugados" es solo otra forma de decir que la lente concentra el plano en un punto cercano. Esto funciona para la luz que entra en un ángulo pequeño: se enfoca en otro punto. La cancelación de fase ocurre normalmente cuando un plano se enfoca en un punto recto, pero si hay una rejilla de difracción en f, con características grandes, de modo que el patrón de difracción es de ángulo pequeño, cada una de las ondas difractadas que salen se enfocan por la lente en un punto diferente, como si viniera del infinito.
@ColinK: Debo decir que "sin (x)/x" es solo una imagen cualitativa, antes de que saltes sobre esta afirmación como incorrecta también. Esto es para una apertura 1d, y el ojo es una apertura 2d. La declaración que hice sobre la "pieza de fase cuadrática que se aleja a lo largo de un camino recto" es solo la declaración de que si sumas una secuencia de fases a lo largo de una línea recta, se suman en fase, pero no a lo largo de una trayectoria de flexión. Pero se suman a lo largo de una curva para una rejilla de ángulo pequeño, lo que se debe a las cancelaciones cerca de la rejilla y a la posterior propagación del frente de onda como si viniera del infinito.

colin k · Answer 1

Como se menciona en la pregunta, una lente delgada producirá en su plano focal la transformada de Fourier del campo óptico en su pupila, posiblemente multiplicada por un término de fase cuadrático. Sin embargo, para comprender cómo se relaciona esto con la imagen en la imagen de la óptica de ondas, debemos dar un paso atrás y observar la situación de manera más general. Bajo la aproximación paraxial, la propagación de un campo óptico se puede modelar con la integral de difracción de Fresnel:

{tu}^{'} (X, y) = \frac{{mi}^{i k z}}{i λ z} mi X pags [\frac{i π (X^{2} + y^{2})}{λ z}] \dots \times \iint_{- \infty}^{\infty} tu (ξ, η) mi X pags [\frac{i π (ξ^{2} + η^{2})}{λ z}] mi X pags [\frac{- i 2 π (X ξ + y η)}{λ z}] d ξ d η

$\begin{equation} U^\prime(x,y) = \frac{e^{i k z}}{i \lambda z} \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi (x^2 + y^2)}{\lambda z}\right] \ldots\\ \times \iint_{-\infty}^{\infty} U(\xi, \eta) \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi (\xi^2 + \eta^2)}{\lambda z}\right] \mathrm{exp}\left[ \frac{-i 2 \pi (x \xi + y \eta)}{\lambda z}\right] d\xi d\eta \end{equation}$ dónde

U (ξ, η)

$U(\xi,\eta)$ es un campo óptico,

U^{'} (x, y)

$U^\prime(x,y)$ es el campo después de la propagación por una distancia

z

$z$ , y

λ

$\lambda$ y

k

$k$ son la longitud de onda y el número de onda, respectivamente.

En el caso de una lente delgada, una transparencia en contacto con la lente y una distancia de propagación igual a la distancia focal $f$ , podemos representar el campo de entrada como

tu (ξ, η) = t_{A} (ξ, η) mi X pags [\frac{- i π (ξ^{2} + η^{2})}{λ F}]

$U(\xi, \eta) = t_A(\xi, \eta) \mathrm{exp}\left[ \frac{-i \pi (\xi^2 + \eta^2)}{\lambda f}\right]$ dónde

t_{A}

$t_A$ es la transmisión de amplitud de la transparencia, y el término de fase cuadrática es la curvatura del frente de onda introducida por una lente delgada de distancia focal

f

$f$ . Si reemplaza esto en la integral de difracción anterior, verá que, cuando

z = f

$z = f$ , la integral se reduce a una transformada de Fourier y tenemos

\begin{aligned} {tu}^{'} (X, y) & = \frac{{mi}^{i k z}}{i λ z} mi X pags [\frac{i π (X^{2} + y^{2})}{λ z}] \iint_{- \infty}^{\infty} t_{A} (ξ, η) mi X pags [\frac{- i 2 π (X ξ + y η)}{λ z}] d ξ d η \\ = \frac{{mi}^{i k z}}{i λ z} mi X pags [\frac{i π (X^{2} + y^{2})}{λ z}] F [t_{A}] (X, y) \end{aligned}

$\begin{aligned} U^\prime(x,y) &= \frac{e^{i k z}}{i \lambda z} \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi (x^2 + y^2)}{\lambda z}\right] \iint_{-\infty}^{\infty} t_A(\xi, \eta) \mathrm{exp}\left[ \frac{-i 2 \pi (x \xi + y \eta)}{\lambda z}\right] d\xi d\eta \\ {} &= \frac{e^{i k z}}{i \lambda z} \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi (x^2 + y^2)}{\lambda z}\right] \mathcal{F}[t_A](x,y) \end{aligned}$ dónde

F

$\mathcal{F}$ es la transformada de Fourier. No lo digo explícitamente, pero puede suponer que las transformadas de Fourier que escribo siempre tienen la escala adecuada. En este caso, si el FT se define para tomar funciones de

(ξ, η)

$(\xi, \eta)$ y funciones de retorno de frecuencia espacial

(α, β)

$(\alpha, \beta)$ , debe asumir la escala implícita

(α, β) \to (\frac{x}{λ z}, \frac{y}{λ z})

$(\alpha, \beta) \rightarrow (\frac{x}{\lambda z},\frac{y}{\lambda z})$ .

Ahora, no lo deduciré aquí porque las integrales son enormes, pero si usas la primera ecuación que escribí para propagar algún campo de objeto por una distancia $f$ , luego aplique la modificación del frente de onda con una lente delgada de distancia focal $f$ , y propagar otra distancia $f$ , verá que todos los términos de fase cuadrática se cancelan entre sí, y el campo resultante es exactamente la transformada de Fourier del campo del objeto, sin siquiera el término de fase cuadrática que se obtiene si el objeto está directamente contra la lente. Si tiene problemas con esto, tenga en cuenta la identidad transformada de Fourier para la doble FT de una función; esto hace que la derivación sea simple.

Más generalmente, esta derivación se puede aplicar a una serie arbitraria de elementos ópticos y distancias de propagación. Con suficiente esfuerzo, se puede demostrar que, para un sistema óptico paraxial descrito por una matriz ABCD, un campo óptico se propaga a través del sistema por:

{tu}^{'} (X, y) = \frac{{mi}^{i k L_{0}}}{i λ B} mi X pags [\frac{i π D (X^{2} + y^{2})}{λ B}] \dots \times \iint_{- \infty}^{\infty} tu (ξ, η) mi X pags [\frac{i π A (ξ^{2} + η^{2})}{λ B}] mi X pags [\frac{- i 2 π (X ξ + y η)}{λ B}] d ξ d η

$\begin{equation} U^\prime(x,y) = \frac{e^{i k L_0}}{i \lambda B} \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi D(x^2 + y^2)}{\lambda B}\right] \ldots\\ \times \iint_{-\infty}^{\infty} U(\xi, \eta) \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi A (\xi^2 + \eta^2)}{\lambda B}\right] \mathrm{exp}\left[ \frac{-i 2 \pi (x \xi + y \eta)}{\lambda B}\right] d\xi d\eta \end{equation}$ dónde

L_{0}

$L_0$ es la longitud efectiva del camino óptico a través del eje óptico del sistema.

Esto, por supuesto, sigue siendo válido solo para un sistema óptico coherente. Una forma de pensar en esto en el contexto de un sistema de imágenes (como un ojo o una cámara) es que solo se aplica al campo debido a un único punto en la escena que se está fotografiando. La imagen final se puede obtener propagando coherentemente el campo desde cada punto del objeto, tomando la magnitud al cuadrado del campo resultante para obtener su intensidad y luego sumando las intensidades de cada punto del objeto.

Por lo tanto, supongo que uno podría afirmar que vemos una superposición de transformadas de Fourier desde cada punto del objeto, en lugar de ver directamente una transformada de Fourier. De hecho, la imagen en tu retina no se parece a la imagen que obtienes si tomas una escena cotidiana y la transformas con Fourier en tu computadora. No obstante, las lentes realizan transformadas de Fourier en los campos ópticos. Sin embargo, al considerar un sistema de imágenes, debe considerar dónde está el campo que se está transformando, en relación con la lente . En general, este campo no esel campo en el objeto que está mirando; es el campo a cierta distancia frente a su pupila, y en una situación del mundo real, no es simplemente un campo coherente desde un punto de origen, sino una superposición incoherente de campos desde cada punto en su campo de visión.

En la práctica, esto significa que las imágenes incoherentes rara vez se simulan con la integral ABCD anterior. Este tipo de cálculo es útil para sistemas de imágenes coherentes (un telescopio es un buen ejemplo, si solo se trata de estrellas y no de objetos extensos), pero en el caso incoherente es mucho más sencillo simular imágenes simplemente aplicando el MTF/ OTF como filtro de convolución o lineal. Sin embargo, incluso en este caso, el cálculo todavía se basa en una transformada de Fourier.

Puedo extender la última parte y describir imágenes incoherentes, si hay interés. Dudo en hacerlo porque comienza a ir más allá del alcance de la pregunta.
-1: Tus ecuaciones ofuscan la física principal. La lente solo realiza una transformada de Fourier de una luz en particular, la luz difractada en el plano de enfoque. "Quizás modificado por un término de fase cuadrática" no es un cambio menor --- ¡no es una transformada de Fourier cuando hay una fase cuadrática! La fase cuadrática es la que produce la óptica geométrica. Odio votar negativamente, pero es una imagen incorrecta. El término cuadrático domina y hace una función delta para reproducir la óptica geométrica, y solo cuando hay difracción en el primer foco se obtienen cancelaciones de la parte cuadrática a larga distancia.
Mis ecuaciones no ofuscan la física; de hecho , son la física relevante para la propagación óptica en la mayoría de los casos. Su segunda objeción es más razonable: en un sentido técnico, la fase cuadrática significa que el resultado no es estrictamente un FT. Sin embargo, todavía es más naturalmente computable con un FT, y en el caso coherente, una fase cuadrática en el plano de la imagen no cambia la intensidad observada. el cuádruple fase de hecho recupera geo. óptica, pero esto es simplemente una declaración de que la óptica de ondas es más central que geo. óptica. No significa que geo. es la única manera correcta de pensar
Estoy de acuerdo en que estas ecuaciones describen la propagación de la luz, pero esta es una forma demasiado general que no es útil para este problema, que no es un sistema de propagación de difracción general. Es un solo objeto de difracción en el foco de la lente y óptica geométrica en todas partes. La única razón por la que hace una transformada de Fourier es porque la lente convierte el patrón de difracción en puntos. Cuando dije "ofuscar" quise decir que la ecuación que diste es demasiado amplia y demasiado complicada: y no es un FT en general, solo para ciertos casos especiales.
Bueno, esto se ha vuelto un poco circular. Lo que estoy tratando de explicar es que esto: "Es un único objeto difractante en el foco de la lente y óptica geométrica en todos los demás". es lo contrario de correcto. Es difracción en todas partes y es óptica geométrica en todas partes , si no desea tanta precisión . Es un FT en todo menos en el sentido más pedante, y los observables son FT o sus superposiciones. Es genial si te gusta geo. óptica. hago a Pero eso no cambia nada.
Su punto es que hay transformadas de Fourier aproximadas calculadas en todas partes a través del estado intermedio no observable (en general) que propaga el campo hacia adelante. Esta es solo una verdad formal, pero en cierto sentido tiene razón, y tal vez no debería votar en contra. Pero este cálculo no está disponible para nosotros en general, no puede simplemente calcular una transformada de Fourier usando una propagación de luz desordenada; necesita un objeto difractante para la transformada de Fourier y necesita una forma de detectar la luz que sale a diferentes direcciones. Este es el sistema de lentes. Y este sistema está ausente en el ojo.
@ron: todos los objetos son "objetos difractantes". El ojo tiene lentes. Sé que eres inteligente, pero este no es tu campo y se nota. No siempre sabes mejor.
No tengo un "campo". También sé estas cosas tan bien como es posible saber cualquier cosa. Sí, "todos los objetos se difractan", pero en su mayoría de manera trivial, se dispersan en todas las direcciones (límite de la función delta) o transmiten un momento cambiante en los bordes afilados. Solo cuando organiza las cosas con cuidado en lambda, calcula un FT no trivial . El factor cuadrado en el exponente evita que sea una transformada de Fourier para escalas más largas que la longitud de onda, y es incorrecto decir que "el campo en tu retina es el FT del campo en tu lente", porque no lo es .
No, no lo es. Como dije, es el pie del campo en la pupila. Si sabes esto lo mejor posible, deja de equivocarte.
El campo en su retina es la "transformada de Fresnel" del campo en su lente, y en el caso del objetivo principal del ojo, esta es una simple propagación geométrica de la luz hacia el punto apropiado. Solo si colocara una rejilla de difracción a la distancia "f" frente a su ojo, enfocaría el patrón de difracción en su retina para ver una transformada de Fourier de la función de transmisión de la rejilla proyectada en su retina. Por lo general, solo hay aire en el punto mágico, sin hacer nada.
Tus propias fórmulas no dicen lo que estás diciendo. Vamos a charlar.

mike dunlavey · Answer 2

Consulta Wikipedia sobre el tema. Dice que la imagen a transformar debe tener 1 distancia focal frente a la lente (no en el infinito o al menos más allá de una distancia focal). Dice que la imagen tiene que estar en una película transparente, y ser iluminada desde atrás por ondas planas, como desde una fuente puntual a distancia.

+1: correcto --- esto es tomar la difracción del punto focal (que se está dispersando como la transformada de Fourier) y volver a enfocarla usando la lente en diferentes puntos de la placa focal. Fuera de este caso especial, el "término cuadrático" hace que no haya transformada de Fourier.

Ron Maimón · Answer 3

Ron Maimón

No, no vemos las transformadas de Fourier --- vemos la óptica clásica (geométrica), que es la luz que se propaga a lo largo de trayectorias geométricas en el límite de las longitudes de onda pequeñas. Este límite hace que la luz que obtenemos de una fuente se reenfoca en un punto en una ubicación correspondiente a la fuente, no hay transformada de Fourier involucrada.

El fenómeno del que estás hablando es una combinación de la ley de difracción junto con la ley de enfoque . Decir que la lente produce la transformada de Fourier es una forma engañosa de decirlo: todo lo que hace la lente es enfocar el patrón de difracción en diferentes direcciones en diferentes puntos de la placa fotográfica. La difracción es lo que está haciendo la transformada de Fourier.

Si coloca un objeto de difracción en un foco de la lente, la lente proyectará el patrón de difracción producido por un objeto de difracción a la distancia focal en el otro lado de la lente en una pantalla de tal manera que se enfocan diferentes ángulos salientes. a un punto diferente.

Dado que la intensidad de difracción es igual a la transformada de Fourier de la función de transmisión, esto producirá una imagen que realiza una transformada de Fourier del objeto en el punto focal. Para ver un ejemplo de cómo la difracción produce transformadas de Fourier, vea esta respuesta: ¿Cómo busca la distribución de irradiancia de Fraunhofer una apertura de doble rendija de diferentes longitudes?

colin k

Lo siento Ron, simplemente estás completamente equivocado esta vez. La óptica ondulatoria no es /necesaria/ para describir la visión, pero ciertamente es válida. La formación de imágenes siempre se puede describir en el formalismo de la óptica ondulatoria, y la óptica ondulatoria significa transformadas de Fourier.

Ron Maimón

@ColinK: No me equivoco y es desalentador que nadie más entienda esto. La óptica ondulatoria no es "transformada de Fourier", es óptica ondulatoria. "La transformada de Fourier de la fuente de transmisión se realiza a través de la difracción, y esto es exactamente lo que se describe en el artículo (lo leí y lo entendí). No hay transformada de Fourier realizada por la óptica de ondas en el límite geométrico.

colin k

"No hay transformada de Fourier realizada por la óptica de ondas en el límite geométrico". Eso es correcto, pero ¿por qué nos preocupamos por el límite geométrico? La óptica de ondas es relevante y, lo que es más importante, completamente válida en el contexto de la visión (y de las imágenes en general). Definitivamente es el caso de que la difracción es el fenómeno físico, y la FT es simplemente una forma de modelarlo, pero esto me parece una distinción semántica.

Ron Maimón

@ColinK: Porque esta era la pregunta de OP --- ¿nuestro ojo está haciendo transformadas de Fourier en el curso de su operación diaria? Si bien tiene razón en que hay casos especiales donde la difracción produce una transformada de Fourier (al menos el caso del artículo, estoy trabajando con su ejemplo), esto es en situaciones especiales donde la difracción es relevante, no en situaciones donde la óptica geométrica es suficiente , que es casi todos los casos de visión normal (el ojo asume que los objetos se reflejan por óptica geométrica).

colin k

Creo que veo la confusión. Prefiere utilizar la óptica geométrica cuando es suficiente. Esta es una preferencia razonable porque es computacionalmente mucho más simple. Sin embargo, la difracción escalar (lo que llamamos óptica ondulatoria) es la teoría más general, y es aplicable y correcta dondequiera que la óptica geométrica sea correcta (y más). La "difracción" siempre es relevante; esencialmente no es más que una palabra para la forma en que se propaga la luz. La palabra a menudo se usa solo en referencia a situaciones en las que los efectos de onda son obvios, como bordes o rendijas dobles, pero siempre sucede.

Ron Maimón

@ColinK: entiendo todo esto, pero la verdadera difracción desaparece cuando se promedia sobre los rayos vecinos casi paralelos, dejando frentes de onda simples que se mueven "clásicamente" (es decir, a lo largo de caminos ópticos geométricos). El problema es que solo para el caso de irregularidades en la pequeña escala se produce una difracción verdadera y una transformada de Fourier no trivial. Sé que todo es difracción debajo, pero la pregunta era "dado que usa luz para calcular FT, ¿nuestro ojo calcula FT día a día?" Y la única respuesta que veo a eso es "no".

tomate

Yo diría: "Dado que una lente delgada calcula FT monocromático, cada lente delgada, incluidos nuestros ojos, está 'calculando' una cantidad infinita de FT todo el tiempo. Por lo general, no es la FT de nada útil y ciertamente no en la retina. "

Ron Maimón

@ptomato: si considera que "calcular la transformada de Fourier de una constante" es calcular una transformada de Fourier, entonces lo que sucede en la lente es una transformada de Fourier. Está calculando la transformada de Fourier de función delta para la luz que pasa por el aire en el punto focal opuesto. Esto no está haciendo nada. No hay transformada de Fourier en la propagación normal, debido a las cancelaciones involucradas en la reproducción del límite de la óptica geométrica.

Mijaíl · Answer 4

Lo que falta en estas respuestas es que los CCD como su cámara no pueden, en principio, ver una transformada de Fourier. ¡Incluso si coloca una lente en el plano focal, no verá la Transformada de Fourier! ¡Tu cámara no es un interferómetro!

Tomando prestada la ecuación de la respuesta de Colin K, vemos que la integral puede ser negativa, positiva o incluso imaginaria.

{tu}^{'} (X, y) = \frac{{mi}^{i k L_{0}}}{i λ B} mi X pags [\frac{i π D (X^{2} + y^{2})}{λ B}] \dots \times \iint_{- \infty}^{\infty} tu (ξ, η) mi X pags [\frac{i π A (ξ^{2} + η^{2})}{λ B}] mi X pags [\frac{- i 2 π (X ξ + y η)}{λ B}] d ξ d η

$\begin{equation} U^\prime(x,y) = \frac{e^{i k L_0}}{i \lambda B} \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi D(x^2 + y^2)}{\lambda B}\right] \ldots\\ \times \iint_{-\infty}^{\infty} U(\xi, \eta) \mathrm{exp}\left[ \frac{i \pi A (\xi^2 + \eta^2)}{\lambda B}\right] \mathrm{exp}\left[ \frac{-i 2 \pi (x \xi + y \eta)}{\lambda B}\right] d\xi d\eta \end{equation}$

Como la luz oscila rápidamente, una cámara convencional no puede realizar interferometría de amplitud y debe promediar muchos períodos de luz, eliminando la parte compleja de la onda (sin mencionar la parte positiva o negativa). Además, incluso cuando tenga un interferómetro, el número imaginario tendrá una compensación de fase en relación con un haz de referencia, si el haz de referencia está compensado por una constante (franja desplazada), todos los números en el campo estarán compensados.

< {tu}^{*} tu >_{t}

$\begin{equation} <U^*U>_t \end{equation}$

Curiosamente, en el caso de un solo color con iluminación uniforme, con dificultad, podemos realizar mediciones interferométricas para extraer un campo "holístico" que incluye las partes real e imaginaria de nuestra señal, lo que nos permite propagar verdaderamente el campo de luz de un lado a otro. . Hacer esto para la luz blanca y la distribución de los ángulos de iluminación sigue siendo un tema de investigación actual. Si fuera una peor persona, vincularía mis trabajos de investigación.

< tu >_{t}

$\begin{equation} <U>_t \end{equation}$

¡Pero recuerda, tu cámara tampoco ve la transformada de Fourier porque la transformada de Fourier tiene números imaginarios!

tomate · Answer 5

La respuesta es no.

Una lente delgada positiva tiene la propiedad de que la amplitud del campo complejo a distancia $f$ después de la lente es la transformada de Fourier de la amplitud del campo complejo a distancia $f$ antes de la lente, donde $f$ es la distancia focal de la lente. Esto se llama un $2f$ sistema.

Sin embargo, es incorrecto decir que esa es una "imagen", porque esas distancias no coinciden con la condición para la formación de imágenes:

1 / a + 1 / b = 1 / F

$1/a + 1/b = 1/f$

Aquí, $a$ y $b$ son ambos $f$ , y obviamente $1/2f \neq 1/f$ .

Correcto, y esto se debe a que esto es difracción , no emisión ni reflexión. Las ondas difractadas salen en diferentes direcciones, como si vinieran del infinito.
@RonMaimon, no estoy seguro de lo que quieres decir con eso último.
Si tiene una fuente clásica en el infinito (rayos de luz paralelos) y la luz se difracta a través de una rejilla, los puntos difractados van en diferentes direcciones, pero aún parece que vinieran del infinito: están enfocados por una lente que usa el ley de la lente con $a=\infty$ no según la distancia a la rejilla. Luego, la lente vuelve a enfocar todos estos puntos de difracción salientes en diferentes puntos de la imagen. Es por eso que la difracción más una lente hace una transformada de Fourier, porque la difracción en sí misma es una transformada de Fourier. Esta es mi respuesta.
Si coloca la fuente de luz monocromática a una distancia a de la fuente y difracta la luz de una diapositiva delgada en el foco, entonces se enfocará a la distancia b.

Cornelio Sicker · Answer 6

Si combinas las dos afirmaciones

En la aproximación paraxial de un campo de luz monocromático, el campo de luz complejo en el plano focal posterior de una lente es la transformada de Fourier del campo de luz complejo en su plano focal frontal.
El cristalino del ojo humano es un cristalino que puede acomodar su distancia focal de modo que la retina se encuentre en el plano focal del cristalino (es decir, acomodación en el infinito).

la respuesta es: Sí, el ojo humano puede realizar transformadas de Fourier (excluyendo aberraciones), como cualquier otra lente.

Otra forma de ver la primera declaración anterior es que, a partir de la óptica de ondas, obtiene la llamada aproximación de Fraunhofer para la difracción en el campo lejano, que es esencialmente una transformada de Fourier con sustituciones de variables apropiadas (y con un factor de fase que ganó no se ve en la retina o en una pantalla). Todo lo que hace una lente ahora es "jalar" el campo lejano (y con él la transformada de Fourier) a su plano focal posterior.

Aún obtiene la transformada de Fourier (multiplicada por un factor de fase que no puede ver) si su plano de entrada "difractante" no está en el plano focal frontal de la lente. Sin embargo, cuanto más lejos esté su plano de entrada de la lente, menor será su rango de ángulos que pasan a través de la lente; en otras palabras: el NA se hace más pequeño. Esto se traduce en una frecuencia espacial máxima de su "imagen de transformada de Fourier". Imagine una máscara circular encima de su transformada de Fourier ideal que se hace más pequeña a medida que su plano de entrada se aleja de la lente. (Como nota al margen: esta máscara corresponde a un filtrado de paso bajo óptico, es decir, un desenfoque, que limita la cantidad de detalles que el ojo puede resolver físicamente para una distancia de objeto determinada).

En la vida diaria, sin embargo, probablemente no verá transformadas de Fourier ya que la mayor parte de la luz que nos rodea es espacial y temporalmente incoherente, por lo que no se cumplen las condiciones para la interferencia y, por lo tanto, no hay patrones de difracción (distinguibles).

Óptica del ojo: ¿vemos transformadas de Fourier?

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