"Paradoja" de la energía cinética: ¿dónde me equivoco aquí? [duplicar]

Para resumir: el trabajo y el cambio en la energía cinética son cantidades que dependen del marco, aunque el teorema del trabajo y la energía se cumple en ambos marcos. Usando el hecho de que la masa y la fuerza son cantidades independientes del marco, podemos ver que el cambio adicional en la energía cinética como se ve en el marco inmóvil se debe al hecho de que un observador en este marco observa la fuerza ejercida actuando a través de un marco. mayor distancia que la observada en el marco móvil. Para resolver el misterio de "dónde está la energía extra", notamos que el cambio total de energía observado en el marco inmóvil tiene dos componentes, y la energía "faltante" proviene del trabajo que el del objeto debe hacer para mantener una velocidad constante.

Aquí están los detalles:

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Consideremos la siguiente situación. Un estudiante de física está de pie sobre un carro que se mueve a una velocidad constante.$v$. Llamemos a este marco de referencia$A$. Ella lanza una pelota hacia adelante, ejerciendo una fuerza$F$sobre cierta distancia, y la velocidad final de la pelota termina siendo$v_{\textrm{A}}$en este cuadro en movimiento. Su compañero de laboratorio está parado en el suelo (fotograma B) observando este proceso y ve que la velocidad final de la pelota es$v_{\textrm{B}}=v+v_{\textrm{A}}$. Ignorando los factores de masa (porque la masa es un invariante galileano), el cambio en energía cinética observado en el marco A es

$$\Delta K_{\textrm{A}}=\frac{1}{2}v_{\textrm{A}}^2,$$ y el cambio en la energía cinética observado en el marco B es $$\Delta K_{\textrm{B}}=\frac{1}{2}(v+v_{\textrm{A}})^2-\frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}v_{\textrm{A}}^2 + vv_{\textrm{A}}>\frac{1}{2}v_{\textrm{A}}^2 = \Delta K_{\textrm{A}}.$$ Aparentemente, hay un cambio mayor en la energía cinética en el cuadro B que en el cuadro A, ¡como observó el OP!

Para resolver este misterio, necesitamos dos cosas. En primer lugar, se puede demostrar directamente que la fuerza$F$ejercida sobre la pelota también es una invariante de Galileo, por lo que ambos observadores ven la misma fuerza ejercida sobre la pelota. Sin embargo, dado que la primera alumna está de pie sobre el carrito, se ve a sí misma ejerciendo una fuerza sobre la pelota a cierta distancia.$d$, por lo que el trabajo realizado sobre la bola es

$$W_{\textrm{A}} = Fd.$$ En el marco B, la distancia a través de la cual se ejerce la fuerza incluye la distancia que ha recorrido el carro durante este tiempo, es decir, $$W_{\textrm{B}} = F(d +v\Delta t),$$ asumiendo que el lanzamiento toma una cantidad de tiempo$\Delta t$.

El teorema del trabajo y la energía se cumple en ambos marcos, y podemos ver cómo la energía añadida a la pelota como se observa en el marco B es mayor que la que se observa en el marco A. De hecho, podemos demostrar que son iguales.

La cantidad de tiempo necesario para acelerar la pelota desde una velocidad de$0$a una velocidad$v_{\textrm{A}}$a distancia$d$en el marco A está dado por (nuevamente, ignorando la masa)

$$\Delta t = \frac{\Delta v_{\textrm{A}}}{a} = \frac{v_{\textrm{A}}}{F},$$ y así, sustituyendo esto en la expresión del trabajo realizado en el cuadro B, obtenemos $$W_{\textrm{B}} = F(d +v\Delta t)= F\left(d +v\frac{v_{\textrm{A}}}{F}\right) = Fd + vv_{\textrm{A}}.$$ Podemos ver que el trabajo adicional realizado como se observa en el marco B es exactamente la cantidad adicional de energía ganada como se observa en el marco A en comparación con el marco B.

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Ahora, todavía hay algunas cosas intuitivas para resolver. Claro, el trabajo y los cambios en la energía cinética dependen del marco, pero todavía parece que la energía se pierde al pasar de un marco a otro. ¿Dónde está el significado de la energía adicional que se observa en un cuadro frente al otro? En particular, el OP menciona la energía utilizada por las baterías.

En el cuadro A, imagina que una máquina a batería es la que lanza la pelota. Realmente sólo tiene que suministrar una energía igual a$v_{\textrm{A}}^2/2$para acelerar la pelota en el marco en movimiento! Entonces, ¿de dónde viene esa energía extra que se ve en el cuadro B? Viene del carrito . La máquina de lanzamiento le da una patada hacia atrás al carrito, porque la máquina está empujando hacia atrás el carrito para empujar la pelota hacia adelante. Por lo tanto, el carro debe estar accionado para permanecer a una velocidad constante durante el lanzamiento. ¿Cuánta energía se requiere para permanecer a una velocidad constante?

Por el bien del argumento, supongamos que la máquina lanzadora tiene masa cero. Entonces, la fuerza ejercida hacia atrás sobre el carro es igual a la fuerza ejercida hacia adelante sobre la pelota, según la 3ra Ley de Newton. Para permanecer a una velocidad constante durante el lanzamiento, el carro debe contrarrestar esta fuerza ejerciendo su propia fuerza hacia atrás sobre el suelo . Por supuesto, la cantidad de trabajo realizado durante este proceso es$Fv\Delta t$y ya mostramos que esto es igual a la cantidad extra de energía que falta .

¿Dónde está mi error?

Tu error está en descuidar el impulso. Para cambiar la velocidad necesitas impulso además de energía. Entonces, para acelerar, tu objeto$A$debe interactuar con algún otro objeto.

Independientemente del mecanismo que use, cualquier energía que parezca faltar, si examina el otro objeto, el que$A$está interactuando, allí encontrarás la energía que falta.

En el segundo marco de referencia en movimiento, esa batería descarga 1 unidad de energía a través de la fuerza a lo largo de una distancia. Desde la perspectiva del sistema original en reposo, la batería ya se está moviendo y, por lo tanto, se aplica fuerza en una distancia mayor, lo que explica la discrepancia de energía.

Del mismo modo, imagine que la segunda batería permanece en reposo en el segundo cuadro. Aplica una fuerza, para la cual hay una fuerza igual y opuesta durante la duración de la aceleración. No se realiza ningún trabajo manteniendo la batería en su lugar porque no se mueve.

Pero en el marco original se está moviendo, por lo que la fuerza estática que mantiene la batería bloqueada ahora se ve como una fuerza dinámica, y más$W=\int Fdx$se suma a la energía cinética final.