¿La fórmula de colisión inelástica es incorrecta?

Esto sí funciona. Sin embargo, debemos tener cuidado con la forma en que definimos "desde la perspectiva de un objeto". Está definiendo diferentes marcos y las conversiones entre marcos pueden cambiar los valores de las velocidades.

La pregunta clave es qué sucede con los marcos en la colisión. Si el marco continúa por el camino que habrían tomado m1 o m2, encontrará que las velocidades en los dos marcos son equivalentes. Sin embargo, si te quedas "desde la perspectiva del objeto" y, por lo tanto, permaneces fusionado con él, tienes un marco acelerado. Estos se comportan de manera muy diferente y pueden cambiar el valor de una velocidad del valor esperado.

La historia más fácil es si dejamos que los marcos sigan moviéndose a lo largo de la trayectoria del objeto si no se produce una colisión. Definiremos el cuadro f1 como un cuadro que sigue la trayectoria original del objeto 1, y f2 como el cuadro que sigue la trayectoria original del objeto 2. Así podemos decir$v_{1,f1}=0$y$v_{2,f2}=0$. Incluir los subíndices en estas velocidades es importante porque nos permite desenredar el problema que vio.

Por lo tanto, ahora escribimos sus dos ecuaciones como

$$m_1v_{1,f1} + m_2v_{2,f1} = (m_1+m_2)v_{3,f1}$$ $$m_1v_{1,f2} + m_2v_{2,f2} = (m_1+m_2)v_{3,f2}$$

Como notó, los objetos están en reposo en el marco que sigue su trayectoria, por lo que esto se simplifica a

$$m_2v_{2,f1} = (m_1+m_2)v_{3,f1}$$ $$m_1v_{1,f2} = (m_1+m_2)v_{3,f2}$$

Para llegar a las ecuaciones que escribiste, tenemos que traer un marco más, f0. Este es el marco con el que comenzaste en tu problema inicial, donde ambos objetos se mueven. Podemos decir$v_{2,f1} = v_{2,f0} - v_{1, f0}$, mostrando que la velocidad en el marco f1 es siempre la velocidad en el marco f0 menos la velocidad del objeto 1. Asimismo$v_{1,f2} = v_{1,f0} - v_{2, f0}$. Conectándolos, finalmente llegamos a las ecuaciones (1) y (2) con las que comenzó, pero con un poco más de formalismo para ayudar a desenredar las cosas.

$$m_2(v_{2,f0} - v_{1, f0}) = (m_1+m_2)v_{3,f1}$$ $$m_1(v_{1,f0} - v_{2, f0}) = (m_1+m_2)v_{3,f2}$$

Ahora notará que tengo un signo menos aquí, cuando tenía un signo más. Esa es probablemente la mayor parte de la confusión. De hecho, estabas resolviendo el problema con respecto a un marco que despegó en la dirección opuesta a los objetos. Pero igual habría funcionado.

El problema más grande es que te das cuenta de que no podemos igualar estas dos ecuaciones.$v_{3,f1}$y$v_{3,f2}$son dos cosas diferentes. Ciertamente están relacionados, pero no son lo mismo. Tampoco son exactamente opuestos.$v_{3,f1} \neq v_{3,f2}$a menos que las masas sean las mismas. Sin embargo, lo que podemos hacer es restar las dos ecuaciones entre sí.

$$m_2(v_{2,f0} - v_{1, f0}) - m_1(v_{1,f0} - v_{2, f0}) = (m_1+m_2)(v_{3,f1}- v_{3,f2})$$

$$(m_1+m_2)(v_{2,f0} - v_{1, f0}) - (m_1+m_2)(v_{3,f1}- v_{3,f2})$$ $$v_{2,f0} - v_{1, f0} = v_{3,f1}- v_{3,f2}$

Entonces, ¿a qué acabamos de llegar? La diferencia entre la velocidad combinada final en f1 y f2 es igual a la diferencia entre las velocidades iniciales en f0. Esto se espera intuitivamente, ya que la diferencia entre f1 y f2 es de hecho un cambio de velocidad que explica las velocidades de ambas partículas.

Esta especie de falta de respuesta nos dice algo importante: resolver este problema en diferentes marcos no cambió la historia en absoluto. Los resultados serán consistentes entre sí. Puede resolver este sistema en cualquier marco que tenga sentido para usted, y el resultado será el mismo (después de convertir los resultados nuevamente en el marco final de su elección).