Paradoja aparente en la relatividad especial

Hace poco me pusieron un problema simple de tarea. Bob ve a Alice pasar a su lado de manera positiva. X dirección. Tienen naves espaciales idénticas, cada una con tres relojes espaciados uniformemente a lo largo de las naves. En el marco de descanso, la longitud de los barcos es L 0 = 90 metro. Bob mide el de Alice para ser L ′ = 30 metro.

Ahora, la primera parte es trivial, se nos pide encontrar γ . Posteriormente, se nos pregunta qué dicen los relojes en el marco de Alicia si:

  1. Todos los relojes de Bob marcan 0
  2. Bob observa que el reloj delantero de Alice marca 0.

Ahora, mi línea de lógica es la siguiente. En el marco de Alice, los relojes deben estar sincronizados. Si no lo son, entonces su asincronía hace que este problema no tenga sentido, los relojes podrían estar desfasados ​​por horas entre sí y ni siquiera Einstein podría predecir lo que dirían. Así, si conocemos uno de los relojes de Alicia, los conocemos todos. En la parte delantera del barco, Alice y Bob se cruzan y Bob mide el reloj de Alice en 0. Ahora, si esto es un evento en X m = ( C ( 0 ) , 0 ) = ( 0 , 0 ) , entonces la transformación de Lorentz es trivial y da X A yo i C mi m = Λ v m X v = (0,0). Por lo tanto, el reloj frontal de Alice lee 0 en su marco y también lo hacen todos sus otros relojes.

Ahora, esto se basa en que se superponen entre sí, con una distancia física cero en el evento, pero es una idealización, y no se proporcionó información sobre la distancia de paso. Las soluciones argumentan que debido a que conoce la posición de los relojes en ambos marcos y el tiempo en el marco de Bob, puede hacer una transformación de Lorentz de la forma

X C yo o C k 1 = γ ( X C yo o C k 1 ′ + v t C yo o C k 1 ′ ) Dónde X es la medida en el marco de Bob y X ′ es la medida en el Marco de Alicia. Porque podemos resolver para t ′ , deberíamos poder encontrar la medida en t ′ .

Ahora, no puedo encontrar una manera de refutar o confirmar el enfoque del profesor. Por un lado, parece sugerir que la interacción del encuadre de Bob con el de Alice provoca que se produzca asincronía, lo que es una violación directa de los postulados de la RS. Mi otro pensamiento es que existe cierta confusión entre el marco de tiempo (el conjunto de relojes sincronizados en reposo en el marco de Alice en todos los puntos del espacio) y el tiempo realmente "visto" por Alice. Después de todo, a 45 y 90 metros, habría un retraso de unos 300 ns entre ella y el reloj más lejano, lo que se acerca notablemente a la respuesta informada. Aun así, esto parece muy poco en el espíritu de la relatividad, si asumimos que Alice puede explicar con éxito el retraso de tiempo. ¿Me estoy perdiendo una resolución clara aquí? ¿Está simplemente equivocado el profesor? ¿Estoy equivocado?

Se trata de cómo leer tales preguntas. Sí, no se proporcionó suficiente información (precisa). Tienes que sentir qué parámetro debe considerarse libre en la solución. Es como si Bob viajara a 50 km/h, ¿cuánto tarda en llegar a Alice? entonces no asumes que la distancia de Alice y Bob sea cero, pero la llamarías x, ¿no es así?

Respuestas (3)

Mi suposición para esta respuesta es que el frente del cohete de Alice pasa por el frente del cohete de Bob en el momento en que todos los relojes de Bob marcan 0 . En el marco de Alice, podemos definir las coordenadas del evento para los relojes de Alice como ( C ( 0 ) , − 90 ) , ( C ( 0 ) , − 45 ) , ( C ( 0 ) , 0 ) .

Sean las coordenadas para los mismos eventos en el marco de Bob ( C t 1 , X 1 ) , ( C t 2 , X 2 ) , ( C t 3 , X 3 ) respectivamente. Dado que los frentes de los cohetes coinciden cuando los relojes delanteros de Alice y Bob marcan 0 en el marco de Bob, X 3 = 0 y t 3 = 0 .

A continuación, puede resolver para t 1 , t 2 : t 1 = γ ( 0 + β C ( − 90 ) ) y t 2 = γ ( 0 + β C ( − 45 ) ) , dónde β = 2 2 / 3 y γ = 3 .

Aquí está el diagrama de espacio-tiempo de Bob en Desmos. Espero que eso le dé una mayor intuición de la situación. Tenga en cuenta que todos los puntos que caen en la línea discontinua representan eventos simultáneos para Alice, pero claramente no son simultáneos para Bob ya que corresponden a diferentes C t coordenadas en el diagrama de espacio-tiempo de Bob.

La pregunta se refiere a la lectura del reloj de Alice, no a la de Bob. Es por eso que estoy confundido porque si los relojes de Alice son asincrónicos, entonces la pregunta no tiene sentido (sus relojes también pueden decir "Me gusta el pastel"), pero si son sincrónicos, entonces no pueden volverse asincrónicos repentinamente después del evento. ¿¿bien??
@BooleanDesigns: ¿Quiere decir que la pregunta es qué dicen los relojes en el cohete de Bob según Alice, o pregunta qué dicen los relojes en el cohete de Alice según Bob? Si es lo primero, revisaré mi respuesta. Si es lo último, entonces está bien como está.
¡Ni siquiera eso! Por eso la pregunta es absurda. ¡Quiere los relojes de Alice de su propio marco!
@BooleanDesigns: en ese caso, asume que los relojes de Alice están sincronizados en su propio marco o no. El primer caso es trivial, pero si es el último caso, entonces aún necesita las lecturas de los relojes de Alice en el marco de Bob. Tal como está, la pregunta me parece incompleta.
@BooleanDesignsn "La pregunta pide la lectura del reloj de Alice, no la de Bob" - la pregunta dice: "qué dicen los relojes en el marco de Alice" Se supone que es "... según lo observado por Bob". De hecho, es una pregunta un poco descuidada que podría interpretarse de dos maneras.

Tu análisis me parece razonable. El problema (al menos como lo has parafraseado) parece mal redactado y ambiguo. Debería indicar explícitamente que los relojes están sincronizados, como dijiste.

Supongo que todos los relojes están sincronizados de la manera habitual, y se supone que debes encontrar las lecturas en todos los relojes de Alice cuando el reloj más cercano de Bob marca 0. Lo que necesitas para eso es la otra mitad de la transformación de Lorentz. , 0 = γ ( t ′ + v X ′ / C 2 ) . Si desea que la lectura sea una función de la posición en el marco de descanso de Bob, en lugar de en el de Alice, entonces también necesita X = γ ( X ′ + v t ′ ) .

Tu error es suponer que todos los relojes de Alice marcan la misma hora que los de Bob.

Esta es una pregunta sobre la relatividad de la simultaneidad. Debido a que Bob y Alice se mueven uno respecto del otro, sus respectivos planos de simultaneidad se inclinan. Un tiempo fijo para Bob es un corte plano a través de su espacio-tiempo, mientras que es un corte inclinado a través del de Alice, por lo que en un tiempo fijo en todas partes del marco de Bob, el tiempo de Alice varía en cada punto a lo largo de la dirección en la que se mueve en relación con Bob.

APÉNDICE

Estás confundido sobre el significado de la pregunta y sobre el significado de la relatividad de la simultaneidad.

Si tiene dos marcos A y B que se mueven uno respecto del otro, y toma en uno un plano de tiempo constante, digamos t=0 en el plano B, entonces ese plano tiene un ángulo a través del tiempo en el otro marco. En cada punto del espacio es t=0 en el marco de Bob; en el marco de Alice habrá un valor variable de t' a lo largo del plano.

La pregunta no es decir que los relojes de Alice se han desincronizado. La pregunta es reconocer que los diversos puntos a lo largo del plano de t=0 en el marco de Bob existen en diferentes momentos en el de Alice.

Para decirlo de la manera inversa, en el marco de Alice, los relojes de Bob aparecerán fuera de sincronía. Ella 'verá' que cada uno de ellos lea t=0 en diferentes momentos. ¿Puedes ver eso?

Se nos pide que encontremos las lecturas de los relojes tal como los ve Alicia en su propio marco, no como los ve Bob.
¡Equivocado! Se nos dice que todos los relojes en el marco de Bob marcan cero, y se nos pide que digamos qué mostrarán los relojes en el marco de Alicia en esas circunstancias. Todos mostrarán tiempos diferentes. El punto central de la relatividad es el hecho de que un conjunto de eventos que son simultáneos en un marco no lo son en otro. La contracción de la longitud y la dilatación del tiempo surgen de eso. Hay tres eventos en el marco de Bob, es decir, los tres relojes muestran cero. Esos eventos tendrán diferentes coordenadas de tiempo en el marco de Alice y no serán simultáneos allí.
Correcto, pero (como se formuló la pregunta en la tarea), Bob es completamente irrelevante. Dejemos que el evento de que él pase a Anna sea el evento A. Todo lo que se nos pregunta es qué cree ANNA que dicen sus propios relojes cuando ocurre este evento. Me parece que deben estar sincronizados verdad?? De lo contrario, Bob tuvo un impacto en el cuerpo de Anna que no parece posible.
¡Nuevamente incorrecto! Se nos habla de tres eventos en el marco de bob, a saber, que cada uno de sus tres relojes muestra t=0. Eso representa un segmento de tiempo horizontal en el marco de Bob y uno inclinado en el de Anna; su reloj mostrará tres horas separadas. Googlea la relatividad de la simultaneidad.
Soy muy consciente de la relatividad de la simultaneidad, pero no está del todo claro sobre cómo se aplica en este caso. En lo que respecta a Alice, no sucede nada más que el único evento en el que Bob pasa junto a ella. Se nos pregunta muy específicamente qué dicen sus 3 relojes cada uno en el instante en que él pasa junto a ella en su propio marco. Debido a que esto representa un solo evento en cada marco, también ocurre en un solo momento en el marco de Alice; por lo tanto, solo hay una cosa que los relojes podrían leer. No tengo claro cómo importa que haya 3 relojes; solo queremos saber qué ve Alicia en un instante.
Estás perdiendo completamente el punto. No se nos pregunta qué 've' Alice. Se nos pregunta qué tiempos en el marco de Alice, en las ubicaciones de cada uno de sus tres relojes, corresponden a un tiempo de t=0 en todas partes en el marco de Bob.
La pregunta no tendría sentido si preguntara qué hora es en todas partes del marco de Alicia cuando uno de sus relojes muestra t'=0; la respuesta sería 0 en todas partes de su marco. Agregaré un apéndice a mi respuesta.
No, la pregunta se refiere muy específicamente a la hora "Alicia ve desde su marco".
Aquí es donde acaba entrando la confusión, porque el análisis es muy diferente y gira en torno al matiz de lo que entendemos por tiempo “en el marco de Alicia”. ¿Cuál es la convención más común aquí?
Tu pregunta no pregunta qué 've' Alice; pregunta cuáles son las horas en las ubicaciones de los tres relojes cuando uno de ellos dice t'=0 y todos los relojes de Bob dicen t=0.
@BooleanDesigns "la pregunta pregunta muy específicamente por el tiempo "Alice ve desde su marco"" - no se indica específicamente en la pregunta. Allí dice: "nos preguntan qué dicen los relojes en el marco de Alice..." Se supone que eso significa "... según lo observado por Bob".
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