Para una variedad 2D compacta, ¿existe un σab:∇[aσb]c=0?σab:∇[aσb]c=0?\sigma_{ab}: \nabla_{[a}\sigma_{b]c } = 0?

Dejar S sea ​​una variedad bidimensional compacta y suave con una métrica de Riemann definida positiva gramo a b con una derivada covariante compatible ∇ a .

Quiero mostrar que existe un único tensor simétrico sin rastro σ a b satisfactorio

∇ [ a σ b ] C = 0.

Esta pregunta en realidad está relacionada con el Teorema 5 en el trabajo de Geroch Estructura asintótica del espacio-tiempo . Desafortunadamente, no puedo encontrar una versión gratuita de la misma. Pero ya traduje la parte esencial del Teorema 5. En la prueba de Geroch, afirmó que σ a b = 0 , por lo que se prueba la unicidad. Su argumento se puede dar a continuación:

Dejar ξ a ser cualquier campo de vector Killing conforme en S tal que

∇ ( a ξ b ) = k gramo a b

para alguna funcion k en S . Formar un nuevo tensor σ a b ξ C por producto tensorial, y evaluar,

∇ [ a ( σ b ] C ξ d ) = σ C [ b ∇ a ] ξ d .

Contrato ambos lados con gramo C d para obtener,

∇ [ a ( σ b ] C ξ C ) = σ C [ b ( ∇ a ] ξ d ) gramo C d .

Aquí, sugirió que uno escribiera ∇ a ξ d como una suma de sus partes simétricas y antisimétricas. Usando la propiedad de ser un vector de Killing conforme, se puede mostrar que la parte simétrica da σ C [ b k gramo a ] d gramo C d = k σ [ a b ] = 0 , como σ es simétrico Para la parte antisimétrica, dijo que obtendrías un múltiplo de gramo C d σ C d , que también es cero.

Pero me encuentro con algún problema con la parte antisimétrica. La parte antisimétrica no posee ninguna propiedad en particular, por lo que realmente no puedo obtener su resultado.

Puede ser útil saber en d = 2 , su k = ∇ a ξ a , es decir, la ecuación de Killing conforme es, ∇ ( a ξ b ) = gramo a b ∇ C ξ C .
@JamalS ¡Gracias por recordarnos la dimensionalidad! ¡En realidad sé cómo probarlo! Escribiré la solución.

Respuestas (1)

La prueba de la afirmación de Geroch utiliza el hecho de que la variedad es bidimensional. Gracias a @JamalS. En este caso, cualquier tensor antisimétrico, como ∇ [ a ξ b ] , es proporcional al elemento de volumen ϵ a b . Dejar ∇ [ a ξ b ] = α ϵ a b para alguna funcion α en S .

Consideremos la contribución de ∇ [ a ξ b ] a ∇ [ a ( σ b ] C ξ C ) :

σ C [ b ( ∇ [ a ] ξ d ] ) gramo C d = α σ C [ b ϵ a ] C .

Ahora, elige una base ortonormal. { ( mi 1 ) a , ( mi 2 ) a } tal que ϵ 12 = 1 , y σ 11 + σ 22 = 0 , como σ a b es sin rastro. Así que considera

σ C [ 1 ϵ 2 ] C = 1 2 ( σ 11 ϵ 2 1 + σ 21 ϵ 2 2 − σ 12 ϵ 1 1 − σ 22 ϵ 1 2 ) = 1 2 ( σ 11 ϵ 2 1 − σ 22 ϵ 1 2 ) = 1 2 ( σ 11 + σ 22 ) ϵ 2 1 = 0 .

Esto completa la demostración.

Otro método es establecer σ C [ b ϵ a ] C = β ϵ a b . Contrayendo ambos lados con ϵ a b para obtener β = α σ C b gramo b C / 2 = 0 . ¡Gracias @Valter Moretti!

Resulta que la dimensionalidad juega un papel importante en la prueba de la afirmación de Geroch, que ignoré por completo antes.

estaba por responder!!! El punto es que dim M = 2
@ValterMoretti Jaja, ¡tomé tu trueno! ¡Pero gracias por intentar responder a mi pregunta y tu comentario! La dimensionalidad a veces juega un papel importante, que siempre pasé por alto. Así que no necesito la sugerencia de Geroch sobre la contribución de la parte antisimétrica. Pero aún así, su sugerencia podría estar equivocada. ¿Bien?
La sugerencia de Geroch es correcta. Tratando con una base genérica y utilizando el hecho de que los componentes son solo dos, de hecho encuentra que la parte antisimétrica es proporcional a σ a b gramo a b ...
@ValterMoretti ¡Sí! ¡Acabo de recibirlo! ¡Muchas gracias!
El problema no trivial es por qué hay un vector Killing confirmado en un vecindario de cada punto...
@ValterMoretti Supongo que la existencia de un vector Killing conforme en cada punto está relacionado con la universalidad de Γ a b C d = norte a norte b gramo C d . El último párrafo de la página 22 del artículo de Geroch lo muestra. Pero me parece que hay algo omitido. Como sabemos, la ecuación de Einstein no es conformemente invariante. Una transformación conforme en realidad cambia el espacio-tiempo. Entonces, no todas las simetrías asintóticas son "simetrías físicas". Sin embargo, me parece que lo contrario es cierto!
Para una variedad 2D compacta, ¿existe un σab:∇[aσb]c=0?σab:∇[aσb]c=0?\sigma_{ab}: \nabla_{[a}\sigma_{b]c } = 0?
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