Ortogonalización de Gram-Schmidt para escalares

Estoy leyendo el Capítulo 11 (Modos normales) de Mecánica clásica (5.ª ed.) de Berkshire y Kibble y encontré esto en la pág. 253:

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La energía cinética en términos de las coordenadas generalizadas viene dada por:

$$T=\frac{1}{2}a_{11}\dot{q_1}^2+a_{12}\dot{q_1}\dot{q_2}+\frac{1}{2}a_{22}\dot{q_2}^2.$$ Es una simplificación considerable elegir las coordenadas para que sean ortogonales, y esto siempre se puede hacer. Por ejemplo, podemos establecer $$q_1'=q_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}q_2,$$ de modo que $$T=\frac{1}{2}a_{11}\dot{q_1}'^2+\frac{1}{2}a_{22}'\dot{q_2}^2 \,\,\text{with}\,\,a_{22}'=a_{22}-\frac{a_{12}^2}{a_{11}}.$$ Un procedimiento similar se puede utilizar en el caso general. (Se llama el procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt). Primero podemos eliminar los productos cruzados que involucran$\dot{q}_1$mediante la transformación a $$q_i'=q_i+\frac{1}{a_{ii}}\sum^{n}_{r \neq i}a_{ir}q_r. \tag{1}$$

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De la definición vectorial de Gram-Schmidt

$$\boldsymbol{b'}=\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a})\hat{a}$$ esperaría algo como $$q_i'=q_i-\sum_{r\neq i}^n\frac{a_{ir}q_r}{a_{rr}}. \tag{2}$$ ¿Alguien podría explicar de dónde viene (1)?

EDITAR

Además, noté que la expresión de la energía cinética se parece al tensor métrico:

$$ds^2=g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu} \iff T=\frac{1}{2}a_{11}\dot{q_1}^2+a_{12}\dot{q_1}\dot{q_2}+\frac{1}{2}a_{22}\dot{q_2}^2.$$ de modo que $$g_{ij}=\frac{1}{2}a_{ij}$$ ¿Significa eso que es posible obtener (1) mediante una transformación a las coordenadas rectangulares con algo como $$\frac{\partial^2x^n}{\partial \bar{x}^i\bar{x}^j}=-\frac{\partial x^p}{\partial \bar{x}^i}\frac{\partial x^q}{\partial \bar{x}}^j \Gamma^n_{pq} \to \frac{\partial^2q_n}{\partial q'_i \partial q'_ j}=-\sum_{p, r}\frac{\partial q_p}{\partial q'_i}\frac{\partial q_r}{\partial q'_j} \Gamma^n_{pr}$$ ? dónde$\bar{x}^i$son coordenadas en el sistema rectangular.