Origen de los métodos del operador de escalera

Los operadores de escalera generalmente se construyen para formar un álgebra de Lie (queremos que tengan relaciones de conmutación específicas). La base matemática es la teoría del peso.

Lo importante de las álgebras de Lie es que son un espacio vectorial y sus elementos, que se llaman generadores, obedecen esta regla de conmutación:

$$[X_i,X_j]=f_{ijk}X_k$$ Donde hemos utilizado la convención de suma . $f_{ijk}$son solo constantes, por lo que las llamamos constantes de estructura .

En nuestro caso, los generadores serán solo matrices.

En general, tendremos n número de generadores, que formarán un álgebra. Habrá m generadores diaganolizables simultáneamente (es decir, conmutarán entre sí). Estos generadores se denominan generadores de Cartan y forman la subálgebra de Cartan. Los denotaremos por$H^i$y los generadores no Cartan por$E^i$.

Cada vector propio asociado a los generadores de Cartan se denomina vector de peso ,$|t_i\rangle$. Sus componentes$t_i$se llaman pesos. Los vectores de peso corresponderán a los estados físicos.

Un generador de Cartan actuará sobre un vector de peso como:

$$H^i|t_j\rangle =t^i_j|t_j\rangle$$

En este punto debería explicar las raíces, pero las omitiremos.

Ahora, aquí es cuando entran en juego los operadores de escalera. Cuando un generador que no sea de Cartan actúa sobre un estado (vector de peso), el nuevo valor propio se desplazará en$\pm e_j^i+t_k^i$. Cuando el valor aumenta, denotamos el generador por$E^j$y cuando se baja$E^{-j}$. Suponemos que son los conjugados hermíticos entre sí.

Entonces, es posible probar que$[H^i, E^j]=e^i_jE^j$y$[E^j,E^{-j}]=e^k_jH^k$. Estas relaciones de conmutación son muy importantes y se utilizarán en el caso del momento angular y el oscilador armónico.

Así que hemos terminado, solo necesitamos identificar nuestros generadores Cartan y no Cartan. Luego, los generadores no Cartan nos moverán por los posibles estados.

Momento angular

tenemos eso$J^1,J^2,J^3$son los generadores de SU(2). Elegimos uno de estos generadores para que sea uno diagonal, por lo general es$J_3$(este es el generador de Cartan). Luego, cada estado$|j,m\rangle$está etiquetado por los valores propios de$J_3$, que identificaremos como el momento angular$m$y el momento angular máximo es$j$.

Ya que$J^1,J^2$no satisfacer$[J^3,J^i]=\alpha J^i$ni$[J^i,J^{-i}]=\alpha J^3$, tenemos que tomar combinaciones lineales de ellos. Podríamos demostrar, resolviendo un sistema lineal, que esta combinación es:

$$N^\pm=\frac{1}{\sqrt{2}}(J_1\mp J_2)$$

Estos operadores cambiarán el valor del momento angular. Podemos comprobar que cumplen las reglas de conmutación.

$$[J^3,J^\pm]=\pm J^\pm$$ $$[J^+,J^-]=J^3$$

Oscilador armónico

(Estoy un poco confundido con las álgebras SU(1,1) y esas cosas, así que alguien más debería explicarlo)

En este caso los generadores de Cartan son dos, la identidad$\mathbb{I}$y el hamiltoniano$H$(Creo que se podría intercambiar el hamiltoniano por el operador numérico$N=a^\dagger a$). También sabemos por QM que$[x,p]=i$($h=1$). Como en el caso anterior, tomamos combinaciones lineales para formar los operadores de escalera. Obtenemos:

$$[H,\hat{a}]=-\hat{a}$$ $$[H,\hat{a}^\dagger]=\hat{a}^\dagger$$ $$[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=\mathbb{I}$$ $$[\hat{a},\hat{a}]=0$$ $$[\hat{a}^\dagger,\hat{a}^\dagger]=0$$

El oscilador armónico se puede ampliar en QFT para estudiar bosones y fermiones.

Si desea obtener más información sobre las matemáticas de los operadores de escalera en el momento angular, debe consultar el libro de Georgi. Para el oscilador armónico no hay tanta información, me gustan estas notas: http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/old-fermions-clifford.pdf .

Tal vez recuerdes del álgebra de la escuela secundaria que$x^2 + y^2 = (x + iy)(x - iy)$. Debido a la forma en que funciona el operador adjunto, podría definir un operador$\hat a = x + iy$, y su adjunto se convierte en$\hat a^\dagger = x - iy$. El hamiltoniano para el oscilador cuántico es solo esta relación con algunas constantes. Hay que tener cuidado porque los operadores de escalera no viajan; que causa la constante$\frac{1}{2}\hbar\omega$para mostrar. De todas las fuentes que he visto discutir el oscilador con los operadores de escalera Griffiths (sección 2.3.1) es el único que realmente explica el problema de esta manera. Los otros simplemente sacan los operadores de escalera aparentemente de la nada, luego demuestran que funcionan.

Los operadores de escalera datan al menos de los Principios de mecánica cuántica de Dirac , publicados por primera vez en 1930. Ese es un muy buen ejemplo de Dirac simplemente inventando los operadores de escalera y luego mostrando que resuelven el problema. Dirac tenía la tendencia de introducir matemáticas con las que los físicos de la época no estaban familiarizados. Entonces, es posible que viera a los operadores de escalera en matemáticas, se diera cuenta de que podían resolver problemas de física y los introdujo a la física. No proporciona una cita en Principios , por lo que también es posible que los haya inventado. La mejor cita de dónde obtuvo Dirac los operadores de escalera debería estar en uno de sus artículos originales.

¿Por qué tienen esa forma y no otra? Supongo que una respuesta es "la forma del hamiltoniano".

Debido a la forma del hamiltoniano para el QHO, existe una base de "número" para los estados.

Suponga que no utiliza el álgebra de operadores de escalera para resolver los estados propios de energía del hamiltoniano. Todavía encuentras que los valores propios de la energía son de la forma $(n + \frac{1}{2})\hbar \omega, \ n = 0,1,2,...$

Por lo tanto, existe una base, la base numérica , que consta de estados con valor propio$n$y un operador numérico asociado,$\hat N$.

$$\hat N | n \rangle = n | n \rangle$$

Entonces el hamiltoniano se puede escribir como:

$$\hat H = (\hat N + \frac{1}{2}) \hbar \omega$$

Factor$\hat N$en el producto de un operador y su adjunto hermitiano:

$$\hat N = \hat a^\dagger \, \hat a$$

De este modo:

$$\hat H = ( \hat a^\dagger \, \hat a+ \frac{1}{2}) \hbar \omega$$

Pero también tenemos:

$$\hat H = \frac{\hat P^2}{2m} + \frac{m \omega^2 \hat X}{2}$$

Igualando estos da la forma de$\hat a$y$\hat a^\dagger$.

Pero, ¿qué hacen estos operadores,$\hat a$y$\hat a^\dagger$¿hacer?

Usando las relaciones de conmutación para$\hat X$y$\hat P$, encuentra eso:

$$[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$$

De este modo:

$$[\hat N, \hat a^\dagger] = \hat a^\dagger$$

Operando en un estado propio numérico con lo anterior, encuentre que:

$$\hat N (\hat a^\dagger | n \rangle) = (n+1)(\hat a^\dagger | n \rangle) = \lambda |n+1\rangle$$

Entonces, encontramos que$\hat a^\dagger$es un operador ascendente que conecta el estado del número$|n\rangle$al Estado$|n+1\rangle$.

Por un razonamiento similar, encontramos que$\hat a$es un operador de descenso .

Entonces, sin asumir operadores de escalera o su forma, necesariamente llegamos a ellos.