Lente que enfoca un haz colimado en un disco de algún material. ¿Cambio de enfoque debido al movimiento del material?

Encontré un problema de óptica geométrica que daba el ejemplo de una lente que enfoca un haz colimado en un disco de algún material con índice de refracción norte . Luego afirmó que, si el disco se mueve hacia la lente una distancia t , mientras se asegura de que el enfoque aún permanece dentro del material, luego el enfoque cambia por norte t dentro de la materia. Esto supone la aproximación paraxial.

Sin embargo, no se proporciona ninguna explicación de por qué el enfoque cambia por norte t , ni se proporciona ninguna explicación sobre cómo se llega a este resultado.

Previamente he derivado la siguiente ecuación para el desplazamiento transversal de un rayo cuando viaja por el aire y golpea una losa de algún material:

X = d pecado ⁡ ( θ ) [ 1 − 1 − pecado 2 ⁡ ( θ ) norte 2 − pecado 2 ⁡ ( θ ) ] ,

dónde d es el espesor del material. Luego usé esto para encontrar el cambio de enfoque posterior a lo largo del eje óptico:

F 2 − F 1 = X pecado ⁡ ( θ )

Me parece que estos son los resultados relevantes para derivar el cambio de enfoque para un problema como este. Sin embargo, hasta ahora no he podido usarlos para derivar norte t .

Mi pensamiento inmediato fue que podría usar F 2 − F 1 = X pecado ⁡ ( θ ) para resolver este problema, pero, incluso después de hacer la aproximación paraxial, no parece darme el resultado deseado (a menos que haya cometido un error):

F 2 − F 1 = X θ = d θ ( 1 − 1 norte ) θ = d ( 1 − 1 norte )

Y esto no parece tener en cuenta t , el desplazamiento del material hacia la lente.

Mi bosquejo del problema es el siguiente:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Apreciaría mucho si la gente pudiera tomarse el tiempo para explicar esto.

@S.McGrew Si derivé el cambio transversal X = d pecado ⁡ ( θ ) [ 1 − 1 − pecado 2 ⁡ ( θ ) norte 2 − pecado 2 ⁡ ( θ ) ] , entonces no creo que no saber la ley de Snell sea el problema...
Una forma sencilla de estimar la ubicación del foco es usar la ley de Snell para rastrear los dos rayos de ángulo más extremo y ver cómo cambia su punto de cruce a medida que se desplaza la superficie del medio.
¿No es la aproximación paraxial que sen theta= tan theta= theta?
@lalala Eso es correcto.
@S.McGrew Pero, ¿en qué se diferencia esto de la derivación del cambio transversal? En particular, no estoy seguro de cómo incorporamos el cambio del material hacia la lente al t .
Solo usa la ley de Snell y algo de geometría simple. El rayo viaja en 2 fases, la primera es antes de golpear la superficie esférica. En esta fase el haz tiene un ángulo θ 1 . Calcule la distancia y recorrida en esta fase para una distancia de superficie esférica de lente de D . Ahora calcule la distancia x recorrida en la segunda fase. En esta fase el haz tiene un ángulo θ 2 . solo calcula θ 2 = θ 2 ( D ) mediante el uso de la ley de Snell. Calcular cuanta distancia x d = d ( D ) el rayo cubre antes de chocar y = 0 . Ahora obtienes una función D t o t a yo ( D ) = D + d ( D ) . Calcular D t o t a yo ( D ) − D t o t a yo ( D + t ) .
¿Qué tal si haces estos cálculos y los publicas como una adición a tu pregunta y te ayudamos una vez que te quedas atascado?
@ThePointer, su dibujo parece que la luz ingresa por el borde del disco (en lugar de la cara plana del disco), pero sus palabras no dicen eso. Hace una diferencia porque el borde de un disco actuaría como una lente. Por favor, aclare.

Respuestas (1)

Primer ataque : la respuesta parece independiente de la geometría del disco y la lente.

Considere la siguiente figura 1:diagrama de rayos: un rayo se aproxima a un semiplano vertical de índice eta

Aquí, en lugar de un disco, usamos un semiplano vertical de índice η . d es donde se habría enfocado el rayo si no hubiera material. En presencia de material, el rayo se enfoca en d ′

Claramente,

d ′ = d t a norte ( i ) t a norte ( r ) ≈ d η
utilizando la aproximación de ángulo pequeño. Por lo tanto
Δ d ′ = Δ d η
para desplazamientos a lo largo del eje óptico. Si el material es desplazado por t hacia la lente, es decir Δ d = t , luego el enfoque cambia por Δ d ′ = η t

Siempre que sea de ángulo pequeño aprox. se mantiene, observe que
1. el resultado es el mismo incluso si el material no era vertical. Esto se debe a que todo lo que haría la inclinación sería cambiar i .
2. un disco en cada punto de incidencia es solo un plano tangente inclinado

Segundo ataque : ecuación de la lente

Para una lente esférica de

  1. radio R

  2. índice de refracción η

  3. distancia del objeto tu

  4. distancia de la imagen v

  5. longitud del potro F

Se sostiene lo siguiente:

− 1 tu + η v = 1 F = η − 1 R

bajo

  1. ángulo pequeño aprox &
  2. convención cartesiana y
  3. la lente se extiende indefinidamente a la derecha

reorganizando

v = η F tu F + tu

por lo tanto para tu ′ = tu − t ,

v ′ − v = η t ( 1 + tu F ) ( 1 + tu − t F )

en el régimen t ≪ tu ≪ F , a primer orden Δ v = v ′ − v = η t

¿Puedes mostrar cómo llegaste? d ′ = d t a norte ( i ) t a norte ( r ) ? La trigonometría utilizada aquí no me queda clara.
@ElPunto broncearse ⁡ i = h d , broncearse ⁡ r = h d ′ , dónde h es la altura del punto de refracción desde el eje principal
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