Modelado de la propagación en el espacio libre de rayos láser utilizando transformadas de Fourier

Question

Modelado de la propagación en el espacio libre de rayos láser utilizando transformadas de Fourier

láser
óptica
Física
Transformada de Fourier

Sandesh Adhikary

Estoy tratando de modelar la propagación de un rayo láser en el espacio libre. tengo un campo inicial $E_{in}(x,z=0)$ (un haz gaussiano) y necesita encontrar los campos en otros puntos en el eje óptico $E(x,z=d)$ para una distancia arbitraria $d$ .

Al leer un par de textos, este es el enfoque que tengo ahora:

Calcule la transformada de Fourier del campo inicial: $\hat{E}(k_x) = \mathscr{F}[E_{in}(x,z=0)]$
Multiplicar $\hat{E}$ por la función de transferencia de espacio libre $e^{i k_z z0}$ dónde $k_z = \sqrt{k^2 - k_x^2}$ propagarlo por una distancia $z0$ a lo largo del eje óptico.
Transformada inversa de Fourier para obtener $E(x,z=z0)$

Este método tiene sentido para mí. Creo que estamos imaginando el campo como una colección infinita de ondas planas ya través de la transformada de Fourier, esencialmente estamos moviendo cada una de estas ondas planas propagándose a través de cada uno de sus respectivos números de onda. Entiendo que el método de la matriz ABCD podría ser una técnica más sencilla, pero necesito un método que funcione para haces arbitrarios y no solo para haces gaussianos.

Estoy implementando esto en Mathematica en este momento y los campos resultantes que obtengo no coinciden con mis expectativas de la propagación del haz gaussiano (no siguen las tendencias de los frentes de onda esféricos). Agradecería cualquier ayuda para determinar si este es el enfoque correcto. También agradecería cualquier ayuda para encontrar otras técnicas que puedan ser útiles para este modelado.

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¿Has probado una transformada de Fourier en el tiempo y una transformada de Laplace en z?

Respuestas (3)

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¿Has probado una transformada de Fourier en el tiempo y una transformada de Laplace en z?

daaxix · Answer 1

El problema con el uso del propagador de Fourier de espacio libre real es el aliasing.

También aprendí esto a través de prueba y error, después de algunas longitudes de onda, el modelo numérico realmente comienza a comportarse mal, probablemente debido al error de redondeo y aliasing.

La aproximación de Fresnel en realidad hace un mejor trabajo si está más allá de la región de campo muy cercano , es numéricamente más estable... Estoy seguro de que podría escribir un software que corrija los errores, pero solo use Fresnel, es muy preciso ...

{tu}_{z} (r) \approx \frac{{mi}^{i k z}}{i λ z} {mi}^{i π \frac{r^{2}}{λ z}} F {{tu}_{0} (r_{0}) {mi}^{i π r_{0}^{2} / λ z}}_{ρ = \frac{r}{λ z}}

$\newcommand{\Four}{\mbox{$\mathcal{F}$}} u_z(\mathbf{r}) \approx \frac{e^{ikz}}{i\lambda z}e^{i\pi\frac{\mathbf{r}^2}{\lambda z}}\Four\left\{ u_0(\mathbf{r}_0) e^{i\pi\mathbf{r}_0^2/\lambda z}\right\}_{\mathbf{\rho} = \frac{\mathbf{r}}{\lambda z}}$

donde se debe cumplir la siguiente restricción:

z^{3} ≫ ‖ r - r_{0} ‖^{4} / λ

$z^3 \gg \|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\|^4/\lambda$ y

r := (x, y)

$\mathbf{r}:=(x,y)$ ; las coordenadas en el plano en su particular

z

$z$ , perpendicular a la

z

$z$ -eje,

r_{0} := (x_{0}, y_{0})

$\mathbf{r}_0:=(x_0,y_0)$ ; las coordenadas en el plano en su posición de campo inicial

z_{0} = 0

$z_0 = 0$ , perpendicular a la

z

$z$ -eje.

Fraunhofer (campo lejano) es válido cuando

z ≫ ‖ r - r_{0} ‖^{2} / λ

$z \gg \|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\|^2/\lambda$

¡Gracias por la respuesta! Creo que necesito comprender mejor mis escalas de longitud aquí. Pensé que la aproximación de Fresnel era para el campo cercano. ¿Por qué es más estable en las regiones más alejadas del campo cercano? Los próximos pasos de mi problema involucran la difracción por rejillas. ¿Las distancias a unos pocos centímetros de las rejillas de difracción estándar se considerarían campo cercano? (es decir, ¿debería usar la difracción de Fresnel o Fraunhoffer?)
Lo es, pero pierde precisión en el campo muy cercano , se podría decir... antes de 1 o 2 longitudes de onda de su campo inicial.
Además, si escribe código para Fresnel, funcionará en la zona de campo lejano (Fraunhoffer). Editaré lo anterior para las escalas que son válidas para cada aproximación. Creo que la aproximación de Fresnel es numéricamente más estable porque algunos de los componentes de alta frecuencia de la función de transferencia de espacio libre real no se aproximan bien cuando se discretizan. El Fresnel soluciona esto a través de una aproximación matemática... Sin embargo, no investigué completamente...
@daaxix ¿De dónde sacaste las restricciones? ¿Puedes citar un artículo o libro?
@DaP, Goodman y Gaskill lo tienen, creo, al igual que Barrett y Myers. Dependiendo de su estado de ánimo y de cómo defina la forma fuera del eje, las constantes en estas expresiones pueden variar. También lo he derivado directamente de la expansión de la serie de Taylor utilizada en la aproximación de Fresnel, mi derivación me dio un múltiplo de $\pi$ .
@daaxix Lo encontré, gracias. Sin embargo, una pregunta: ¿Tiene experiencia en cálculos en el campo muy cercano ? FFT falla en algún momento debido al alias. Resolver la integral de Rayleigh-Sommerfeld falla en algún punto debido al término que oscila rápidamente en ella. ¿Algún consejo?
Por lo general, no necesito calcular el campo muy cercano, pero mi primer instinto sería hacer un propagador de Fourier personalizado, como Fresnel, pero con más términos. La aproximación de Fresnel usa una expansión de la serie de Taylor, tal vez usando otro término en la serie a diferentes distancias dará un cierto nivel de precisión sin los problemas de discretización. Sospecho que puede derivar algún tipo de límite en la distancia frente al número de términos, ¡eso sería una publicación ordenada!

ajmeteli · Answer 2

Ya escribí en otra parte que las vigas gaussianas son solo algunas aproximaciones a las soluciones de las ecuaciones de Maxwell. Por esta razón, derivé algunas soluciones exactas de las ecuaciones de Maxwell que se aproximan extremadamente bien con haces gaussianos ("asintóticamente precisos") cuando la cintura del haz es mucho mayor que la longitud de onda. Consulte https://arxiv.org/abs/physics/0405091 , Eq. 22. La solución describe un haz polarizado circularmente, pero no es difícil derivar una solución que describa un haz polarizado linealmente.

jason · Answer 3

Como se mencionó anteriormente, el aliasing es un problema con la propagación de Fresnel usando transformadas de Fourier, pero es muy manejable. SPIE ha publicado algunos buenos libros sobre cómo escribir código para la propagación de Fresnel y cómo minimizar los efectos del aliasing. Estos dos cubren las matemáticas de propagación y tienen mucho código de Matlab: https://doi.org/10.1117/3.858456

https://doi.org/10.1117/3.866274

Este es menos sobre propagación y más sobre hacer transformadas de Fourier en Mathematica: https://doi.org/10.1117/3.2574956

Muchas universidades tienen suscripciones institucionales a la Biblioteca Digital SPIE, por lo que es posible que pueda descargar estos libros de forma gratuita.

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