Operadores primarios en el Ising CFT

El modelo 1D Ising en la criticidad viene dado por el hamiltoniano H = − norte ∑ i ( σ i X σ i + 1 X + σ i z ) en términos de operadores de Pauli y una normalización norte . En lenguaje CFT, se supone que el contenido del operador de esta teoría está descrito por los campos primarios generalmente llamados 1 , ϵ , ψ y ψ ¯ con dimensiones de escala Δ 1 = 0 , Δ ϵ = 1 y Δ ψ = Δ ψ ¯ = 1 / 2 . Además, muchos artículos (como este ) mencionan los campos σ y m con Δ σ = Δ m = 1 / 8 .

Pregunta : ¿A qué operadores/observables físicos (locales) corresponden estos campos? Mi entendimiento hasta ahora:

  • El campo de la identidad 1 parece ser equivalente a un operador de identidad local.

  • es la "energía" ϵ en el sitio i simplemente σ i X σ i + 1 X + σ i z ? El artículo de Wikipedia de Ising CFT también menciona un campo llamado ϵ ′ con Δ ϵ ′ = 4 , cuyo significado es inexplicable.

  • Los campos ψ y ψ ¯ parecen corresponder a los modos Majorana C 2 i − 1 y C 2 i después de Jordan-Wignerizing the Hamiltonian.

  • El orden" σ parece corresponder al operador Pauli σ i X en el sitio i .

  • No tengo idea de lo que es el "desorden" m corresponde a, pero parece ser un parámetro de orden en la red dual.

El único libro de texto adecuado que tengo actualmente disponible ( "Introducción a la invariancia conforme y su aplicación a los fenómenos críticos" de Christe / Henkel) habla sobre estos campos pero no explica σ y m , solo mencionando que no se pueden escribir localmente en términos de ϵ y el ψ , ψ ¯ .

Hay un capítulo completo sobre esto en el gran libro amarillo CFT.

Respuestas (1)

Correspondencia de celosía-continuum para los campos primarios de Ising CFT:

  1. De hecho, el campo de la identidad 1 simplemente corresponde al operador de identidad en la red. De manera más general, cualquier operador de red con un valor esperado finito en el estado fundamental tiene soporte en el campo de identidad en el continuo.
  2. el campo de energia ε corresponde a σ norte X σ norte + 1 X − σ norte z . ¡Observe el signo menos relativo que no estaba en su fórmula! Esto es esencial: sin el signo menos, el operador tendría un valor esperado distinto de cero (por supuesto, ya que es la densidad hamiltoniana), lo que significa que (parcialmente) tendría soporte en 1 en el continuo. Pero con el signo menos ahora es impar bajo la dualidad Kramers-Wanier. En primer lugar, esto significa que es cero en el punto crítico, pero además si se suma gramo ε a la acción/Hamiltoniano, entonces dependiendo del signo de gramo , uno aterriza en la fase de simetría rota o paramagnética.
  3. El campo de pedido σ : tiene razón en que corresponde al parámetro de pedido σ norte X en el enrejado.
  4. El campo del desorden m corresponde a σ 1 z σ 2 z ⋯ σ norte z en el enrejado. Hay algunas formas de interpretar esto: (a) tenga en cuenta que este es el operador que se asigna a σ norte X bajo la dualidad de Kramers-Wanier, (b) más físicamente, este operador crea un muro de dominio entre sitios norte y norte + 1 (y también cerca del sitio 1 , pero es conveniente imaginar tener condiciones de contorno abiertas allí). De ahí el hecho de que la fase paramagnética tenga ⟨ m ⟩ = ⟨ σ 1 z σ 2 z ⋯ σ norte z ⟩ ≠ 0 nos está diciendo exactamente que las paredes del dominio se han condensado en el estado fundamental. Por último, (c) desde un punto de vista más general, este operador no local surge como el parámetro de orden de la cadena para la fase topológica protegida por simetría trivial. (Por lo tanto, si desea obtener más información sobre esta última perspectiva, simplemente busque en Google el `parámetro de orden de cadena').
  5. Con respecto a los campos fermiónicos ψ , ψ ¯ , por lo que recuerdo, no corresponden exactamente a los operadores de celosía de Majorana γ norte y γ ~ norte , sino sus combinaciones lineales γ norte ± γ ~ norte . (Una forma de ver esto tiene que ser así, es que en el continuo, uno obtiene expresiones como ψ ∂ ψ , sin embargo, en el enrejado γ solo puede acoplarse a γ ~ .)
Ya que te identificas ϵ con σ norte X σ norte + 1 X − σ norte z = i γ ~ norte ( γ norte + 1 + γ norte ) , ¿eso significa que debemos identificar ψ con γ ~ norte y ψ ¯ con γ norte + 1 + γ norte , entonces i ψ ψ ¯ nos da un "término de masa"?
Siguiendo este guión (página 28), uno puede transformar de operadores físicos fermiónicos C i en una red de ancho a a los campos físicos Ψ ( X norte ) = C norte / a . Entonces el término hamiltoniano proporcional a la brecha es C norte † C norte = 1 + i γ norte γ ~ norte , sugiriendo la identificación ϵ ∼ γ norte γ ~ norte y ψ , ψ ¯ ∼ C norte , C norte † . Esto parece inconsistente con su razonamiento.
@Scytale Podría haberme equivocado acerca de los campos fermiónicos (mi punto (5)), esa es la parte en la que no he pensado con mucho cuidado. Pero con respecto a ε , la razón para preferir X X − Z es que es impar bajo Kramers-Wanier, lo que asegura que su valor esperado es cero en el punto crítico. La sugerencia ε ∼ Z (que es lo que sugieres) no es bueno porque ⟨ Z ⟩ ≠ 0 en el punto crítico, lo que implica que Z tiene apoyo en el campo de la identidad 1 .
Entiendo tu punto, pero parece violar la definición habitual. ϵ = i ψ ψ ¯ dónde ψ y ψ ¯ son la versión continua de los operadores fermiónicos en la red. ¿Quizás estoy pensando en el límite continuo incorrecto?
@Scytale No sé por qué dices que esa es la definición habitual de ε . ¿Estás confundiendo el ε -campo con la densidad de energía hamiltoniana?
Según Franceso/Matthieu/Senechal, cap. 12.2.1, "el operador de energía es solo el compuesto de los dos campos fermiónicos, a saber ϵ ( z , z ¯ ) = i : ψ ψ ¯ : ". Más adelante dice: "...ligeramente alejada de la criticidad, la acción de Ising adquiere un término masivo i metro ∫ ψ ψ ¯ ∝ ( k − k C ) ∫ ϵ "Así que este debería ser el correcto ϵ , ¿bien?
Operadores primarios en el Ising CFT
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v