Una pregunta en la página 65 del volumen 1 de QFT de Weinberg

La ecuación (2.5.12) en la página 65 dice que:

( Ψ k ′ , σ ′ , Ψ k , σ ) = d 3 ( k ′ − k ) d σ ′ σ .
Me pregunto por qué usa d 3 ( k ′ − k ) del impulso de tres vectores en lugar de d 4 ( k ′ m − k m ) del de cuatro impulsos.

¿Podría ser esto: desde k m k m = metro 2 , la igualdad de las componentes espaciales implica la igualdad de las componentes temporales hasta un signo. Pero k 0 ≥ 0 , por lo que es de hecho la igualdad.
@RobinEkman ¿Está diciendo que solo estamos considerando los estados de una partícula aquí?
Sí, creo que en esa sección Weinberg está considerando solo estados de una partícula. Si se tratara de estados de múltiples partículas, tendría que haber varios d :s.
@RobinEkman Gracias por su respuesta. Sin embargo, volví a revisar la página y creo que Weinberg está hablando de la normalización de estos estados con impulso estándar. k m . Si estamos hablando de los estados de un solo tipo de partícula, k m es fijo (igual a (0,0,0,M) según la Tabla 2.1 en la página 66). Entonces creo que aquí esos estados no son estados de una partícula de una masa particular m. ¿Estoy en lo correcto?
k' aquí no es un momento estándar mientras que k sí lo es. Consulte \url{ physics.stackexchange.com/questions/24766/… }

Respuestas (1)

(Una respuesta de un estudiante que también estudia el libro de Weinberg)

Básicamente repetiré lo que dijo @Robin Ekman en su comentario, pero con algunas aclaraciones.

En primer lugar, aquí Weinberg está hablando de los estados de una sola partícula masiva . Eso es, Ψ k ,   σ y Ψ k ′ ,   σ ′ Hay dos posibles estados propios de impulso de esta partícula, y el primero se elige como el estado "estándar". Ahora, como señala Ekman, para tal partícula, el 4-momentum k m está restringida en el hiperboloide k m k m = metro con k 0 > 0 en el espacio de momento. Por lo tanto, solo 3 se necesitan parámetros independientes para "enumerar" todos los valores propios del impulso (es decir, para parametrizar completamente el hiperboloide en la jerga matemática). Estos 3 los parámetros se pueden elegir convenientemente como el 3-momentum k , que son solo los componentes espaciales de k m . En este sentido, podemos escribir (sin ninguna ambigüedad)

| k ′ ,   σ ′ ⟩ := Ψ k ′ ,   σ ′ ,
dónde k ′ es la parte espacial de k ′ .

A continuación, teniendo en cuenta las etiquetas k ′ y σ ′ juntos, podemos ver que están destinados a formar un conjunto completo de números cuánticos. Para ser más específicos, los estados

{ | k ′ ,   σ ′ ⟩ | k ′ ∈ R 3 , σ ′ = todos los valores propios discretos permitidos }
para una base ortonormal del espacio de Hilbert de una sola partícula. Aquí los "valores propios discretos permitidos" se determinan a partir de la representación del pequeño grupo. La relación
( Ψ k ′ ,   σ ′ , Ψ k ,   σ ) = d ( k − k ′ ) d σ   σ ′
es solo (parte de) la condición de ortonormalidad en ese espacio de Hilbert.

Podría ser útil señalar aquí que el "elemento de volumen inducido" del hiperboloide, bajo parametrización k , es

d 3 k / k 2 + metro 2 ,
como lo da la segunda ecuación en la página 67 del libro de Weinberg.

Además, cuando Weinberg pasa a partículas sin masa, el hiperboloide en la discusión actual cambia a la superficie nula (el "cono de luz futuro" k m k m = 0 ,   k 0 > 0 ), ¡y la lógica es casi la misma!

¿Significa esto que la normalización de estados de 1 partícula no es invariante de Lorentz? (¿Y esto es un problema?)
Una pregunta en la página 65 del volumen 1 de QFT de Weinberg
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