Aclaración en la derivación del operador de momento radial prprp_r

Question

Aclaración en la derivación del operador de momento radial prprp_r

nick chapman

Al derivar una expresión para $p_r$ , el momento radial de una partícula, no estoy seguro de lo que sucede en un determinado paso. La derivación dada en The Physics of Quantum Mechanics por Binney y Skinner es la siguiente:

{pag}_{r} = \frac{1}{2} (\hat{r} \cdot pag + pag \cdot \hat{r})

$p_r=\frac{1}{2}(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{p}+\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})$

= \frac{1}{2} (\frac{r}{r} \cdot pag + pag \cdot \frac{r}{r})

$=\frac{1}{2}(\frac{\mathbf{r}}{r}\cdot\mathbf{p}+\mathbf{p}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r})$ porque

\hat{r} = \frac{r}{r}

$\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}$ . Poniéndolo dentro

p = - i ℏ \vec{\nabla}

$\mathbf{p}=-i\hbar\vec{\nabla}$ obtenemos

{pag}_{r} = \frac{1}{2} (\frac{r}{r} \cdot - i ℏ \vec{\nabla} + - i ℏ \vec{\nabla} \cdot \frac{r}{r})

$p_r=\frac{1}{2}(\frac{\mathbf{r}}{r}\cdot-i\hbar\vec{\nabla}+-i\hbar\vec{\nabla}\cdot\frac{\mathbf{r}}{r})$ o

{pag}_{r} = - \frac{i ℏ}{2} (\frac{1}{r} r \cdot \vec{\nabla} + \vec{\nabla} \cdot r \frac{1}{r})

$p_r=-\frac{i\hbar}{2}(\frac{1}{r}\mathbf{r}\cdot\vec{\nabla}+\vec{\nabla}\cdot\mathbf{r}\frac{1}{r})$ Ahora aquí está la parte que me confunde: porque

r \frac{\partial}{\partial r} = x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} + z \frac{\partial}{\partial z} = r \cdot \vec{\nabla}

$r\frac{\partial}{\partial r}=x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}+z\frac{\partial}{\partial z}=\mathbf{r}\cdot\vec{\nabla}$ y

\vec{\nabla} \cdot r = 3

$\vec{\nabla}\cdot\mathbf{r}=3$ podemos decir

{pag}_{r} = - \frac{i ℏ}{2} (\frac{\partial}{\partial r} + \frac{3}{r} - \frac{r}{r^{2}} + \frac{\partial}{\partial r})

$p_r=-\frac{i\hbar}{2}(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{3}{r}-\frac{r}{r^2}+\frac{\partial}{\partial r})$ Puedo ver claramente de dónde provienen los primeros dos términos de la última ecuación, pero no veo de dónde provienen los

- \frac{r}{r^{2}} + \frac{\partial}{\partial r}

$-\frac{r}{r^2}+\frac{\partial}{\partial r}$ entra en juego.

El único paso después de la última ecuación es simplificar y obtienes

{pag}_{r} = - i ℏ (\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r})

$p_r=-i\hbar(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r})$ que sé que es correcto. ¿Podría alguien aclarar ese paso intermedio?

AccidentalFourierTransformar

\nabla \cdot r \neq 3

$\nabla\cdot\boldsymbol r\neq 3$ , ya que tiene que haber una función de prueba

f (r)

$f(\boldsymbol r)$ a la derecha (es decir,

\nabla \cdot (r f (r)) = f (r) \nabla \cdot r + r \cdot \nabla f (r)

$\nabla\cdot (\boldsymbol r f(\boldsymbol r))=f(\boldsymbol r)\nabla\cdot\boldsymbol r+\boldsymbol r\cdot\nabla f(\boldsymbol r)$ , Lo que significa que

\nabla \cdot r = 3 + r \cdot \nabla

$\nabla\cdot \boldsymbol r=3+\boldsymbol r\cdot \nabla$ ).

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/9349/2451 y enlaces allí.

Respuestas (1)

Aclaración en la derivación del operador de momento radial prprp_r

$\nabla\cdot\boldsymbol r\neq 3$ , ya que tiene que haber una función de prueba $f(\boldsymbol r)$ a la derecha (es decir, $\nabla\cdot (\boldsymbol r f(\boldsymbol r))=f(\boldsymbol r)\nabla\cdot\boldsymbol r+\boldsymbol r\cdot\nabla f(\boldsymbol r)$ , Lo que significa que $\nabla\cdot \boldsymbol r=3+\boldsymbol r\cdot \nabla$ ).
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/9349/2451 y enlaces allí.

timeo · Answer 1

Para demostrar que el operador $-\frac{i\hbar}{2}(\frac{1}{r}\mathbf{r}\cdot\vec{\nabla}+\vec{\nabla}\cdot\mathbf{r}\frac{1}{r})$ es igual al operador $-\frac{i\hbar}{2}(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{3}{r}-\frac{r}{r^2}+\frac{\partial}{\partial r})$ primero nota que son funciones, por lo que debe mostrar que envían los mismos vectores en el espacio de Hilbert a los mismos vectores en el espacio de Hilbert.

Entonces deja $|A\rangle$ sea una función de onda arbitraria (en el dominio de ambos operadores) y muestre que los dos operadores envían $|A\rangle$ a la misma función de onda. No olvide la regla del producto, y esto es realmente lo que significa mostrar que dos operadores son iguales.

Es como verificar que dos matrices son iguales comparando cada columna con cada columna.

Aclaración en la derivación del operador de momento radial prprp_r

nick chapman

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qmecanico

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timeo

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