Operador de Laplace para encontrar un paquete de planos paralelos (superficies equipotenciales) a dos placas

Question

Operador de Laplace para encontrar un paquete de planos paralelos (superficies equipotenciales) a dos placas

Física
potencial
electrostática
campos eléctricos
ecuaciones diferenciales

Sebastián

Sabíamos que el potencial generado por una carga puntualmente $q$ es $V(r) = kq/r$ y las superficies equipotenciales (en 3D) son esferas centradas en la carga con $r\geq 0$ dónde $r=d(O,P)$ , es decir, la distancia entre el origen y un punto genérico $P$ .

De hecho si estamos en el espacio, donde se ha fijado un sistema ortonormal de coordenadas cartesianas, $r = r(x,y,z) = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}$ indica el módulo del radio vector, es decir, es la distancia desde el origen.

Si el potencial está dado por $V = C/r$ , dónde $C$ es una constante Las superficies equipotenciales son el lugar de los puntos del espacio a un potencial fijo, es decir todos los puntos $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ tal que

V (X, y, z) = \frac{C}{r (X, y, z)} = \frac{C}{\sqrt{X^{2} + y^{2} + z^{2}}} = V_{0}

$V(x,y,z) = \dfrac{C}{r(x,y,z)} = \dfrac{C}{\sqrt {x^2 + y^2 + z^2}} = V_0$ equivalentemente

\sqrt{X^{2} + y^{2} + z^{2}} = \frac{C}{V_{0}} ⟺ X^{2} + y^{2} + z^{2} = {(\frac{C}{V_{0}})}^{2} .

$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \dfrac C{V_0} \iff x^2 + y^2 + z^2 = \left(\dfrac C {V_0} \right)^2.$

Si tengo, en cambio, en 3D (caso general y no particular) que es la situación más concreta, 2 planos $\pi$ y $\pi'$ paralelos (por ejemplo, las placas planas de un condensador plano) entre ellos a una distancia $\ell$ , ¿es posible encontrar una relación matemática del potencial eléctrico $V=V(x,y,z)$ eso me da un bulto $\mathcal F$ de planos paralelos del tipo

F : V (X, y, z) = a X + b y + C z + k = 0, k \in R,

$\mathcal F:\quad V(x,y,z)=ax+by+cz+k=0,\quad k\in\mathbb{R},$ ortogonal al campo eléctrico uniforme

\bar{E} = (E_{x}, E_{y}, E_{z})

$\overline E=(E_x,E_y,E_z)$ ?

Si transformo este problema en una ecuación diferencial a derivadas parciales (EDP), usando el operador de Laplace

\bar{mi} = - \bar{\nabla} V ⟺ {mi}_{X} \hat{X} + {mi}_{y} \hat{y} + {mi}_{z} \hat{z} = - (\frac{\partial V_{X}}{\partial X} \hat{X} + \frac{\partial V_{y}}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial V_{z}}{\partial z} \hat{z})

$\overline E = -\overline \nabla V \Longleftrightarrow E_x\mathbf{\hat x}+E_y\mathbf{\hat y}+E_z\mathbf{\hat z}=-\left(\dfrac{\partial V_x}{\partial x} \mathbf{\hat x}+\dfrac{\partial V_y}{\partial y} \mathbf{\hat y}+\dfrac{\partial V_z}{\partial z} \mathbf{\hat z}\right)$

como puedo encontrar el paquete $\mathcal F:\, V(x,y,z)=ax+by+yz+k=0$ paralela (superficie equipotencial) a las dos placas?

qmecanico

Esto parece ser simplemente el hecho de que el gradiente es perpendicular a la superficie equipotencial .

Sebastián

@Qmechanic Pero, ¿hay una prueba matemática de su explicación? Me gustaría saber si existe una demostración matemática como la que informé. Es decir, que para dos placas paralelas (en 3D) las superficies equipotenciales resultan ser un haz de planos paralelos cuando el potencial cambia de uno más alto a uno más bajo. Espero no haber hecho una mala pregunta por la falta de atención que he tenido. Atentamente.

Siva

@Sebastiano La perpendicularidad sigue casi por definición de "equipotencial". Dado que las superficies equipotenciales tienen el mismo valor de potencial, el gradiente de potencial no puede tener una componente distinta de cero a lo largo de la superficie. Eso significa que el gradiente debe ser necesariamente normal a la superficie equipotencial.

Sebastián

@Qmechanic He agregado algunos detalles. No he estudiado y resuelto PDE cuando estaba en la universidad.

Respuestas (1)

Operador de Laplace para encontrar un paquete de planos paralelos (superficies equipotenciales) a dos placas

Esto parece ser simplemente el hecho de que el gradiente es perpendicular a la superficie equipotencial .
@Qmechanic Pero, ¿hay una prueba matemática de su explicación? Me gustaría saber si existe una demostración matemática como la que informé. Es decir, que para dos placas paralelas (en 3D) las superficies equipotenciales resultan ser un haz de planos paralelos cuando el potencial cambia de uno más alto a uno más bajo. Espero no haber hecho una mala pregunta por la falta de atención que he tenido. Atentamente.
@Sebastiano La perpendicularidad sigue casi por definición de "equipotencial". Dado que las superficies equipotenciales tienen el mismo valor de potencial, el gradiente de potencial no puede tener una componente distinta de cero a lo largo de la superficie. Eso significa que el gradiente debe ser necesariamente normal a la superficie equipotencial.
@Qmechanic He agregado algunos detalles. No he estudiado y resuelto PDE cuando estaba en la universidad.

Rafael de Amelio · Answer 1

Si entiendo la pregunta correctamente, le interesa encontrar la superficie de potencial constante en el caso de planos infinitos con densidad de carga uniforme.

El potencial se puede elegir para tomar la forma:

V (X, y, z) = (V_{1} X, V_{2} y, V_{3} z), dónde V_{1}, V_{2}, V_{3} son algunas constantes que dependen del problema específico

$V(x, y, z) = \left(V_{1}x, V_{2}y, V_{3}z \right),\quad \text{where $V_1, V_2, V_3$ are some constant which depend on the specific problem}$

Ahora necesitas la familia de planos perpendiculares al campo eléctrico, estos son simplemente todos los planos con el vector normal apuntando en la dirección del campo eléctrico:

\hat{norte} = \frac{({mi}_{X}, {mi}_{y}, {mi}_{z})}{\sqrt{({mi}_{X}^{2} + {mi}_{y}^{2} + {mi}_{z}^{2})}}

$\hat{n} = \frac{\left(E_x, E_y, E_z\right)}{\sqrt{\left(E_x^2+E_y^2+E_z^2\right)}}$

como usted señaló

\vec{mi} = - \vec{\nabla} V

$\vec{E} = -\vec{\nabla}V$ Así que lo que queda por hacer es encontrar

\hat{n}

$\hat{n}$ :

\hat{norte} = \frac{(\frac{\partial V_{X}}{\partial X}, \frac{\partial V_{y}}{\partial y}, \frac{\partial V_{z}}{\partial z})}{\sqrt{({(\frac{\partial V_{X}}{\partial X})}^{2} + {(\frac{\partial V_{y}}{\partial y})}^{2} + {(\frac{\partial V_{z}}{\partial z})}^{2})}} = \frac{(V_{1}, V_{2}, V_{3})}{\sqrt{V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + V_{3}^{2}}}

$\hat{n} = \frac{\left(\frac{\partial V_x}{\partial x}, \frac{\partial V_y}{\partial y}, \frac{\partial V_z}{\partial z}\right)}{\sqrt{\left(\left( \frac{\partial V_x}{\partial x} \right)^2+\left( \frac{\partial V_y}{\partial y} \right)^2+\left( \frac{\partial V_z}{\partial z} \right)^2\right)}} = \frac{\left(V_1, V_2, V_3 \right)}{\sqrt{V_1^2+V_2^2+V_3^2}}$ Y la familia de planos viene dada por:

\hat{norte} \cdot (\vec{r} - {\vec{r}}_{0}) = 0, dónde {\vec{r}}_{0} es genérico

$\hat{n}\cdot\left(\vec{r}-\vec{r}_0\right)=0 , \quad\text{where $\vec{r}_0$ is generic.}$ Finalmente obtenemos

V_{1} \cdot X + V_{2} \cdot y + V_{3} \cdot z = k, k \in R

$V_1\cdot x + V_2 \cdot y + V_3 \cdot z = k, \quad k \in \mathbb{R}$

Modifiqué mi pregunta nuevamente, esperando que fuera más clara que antes. Me gustaría entender cómo encontrar el caso general y no el particular. Te agradezco tu respuesta, que obviamente voto positivamente, tanto por el esfuerzo como por el tiempo que me has dedicado.
Te doy mi recompensa también porque has tenido atención en mi problema. 1) No he entendido porque $V(x,y,z)=(V_1x,V_2y,V_3z)$ ; 2) Si $\overline E=|E|\hat n$ por qué $\hat n = \ldots$ ? 3) Quién es $\overline r$ (vector de posición) y $\overline r_0$ ? ¿Puedes poner una figura por favor así entiendo mejor? Después $\hat{n}\cdot\left(\vec{r}-\vec{r}_0\right)=0$ , $\cdot$ es un producto escalar? ¿Puedes explicar mejor estos detalles? Buona pascua e grazie.
Claro, vamos uno por uno: 1) El potencial se calcula simplemente integrando el campo eléctrico, solo debes tener cuidado donde pones el cero de tu potencial $V = -\int_0^{\infty}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ , en mi caso elijo el potencial para ser $0$ en el origen 2) De hecho, hubo un error en mi fórmula, lo corregí, espero que esté claro ahora. 3) Consulte este enlace tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/EqnsOfPlanes.aspx Sí, es un producto escalar. Grazie e buona pasqua anche a te :)

Operador de Laplace para encontrar un paquete de planos paralelos (superficies equipotenciales) a dos placas

Sebastián

qmecanico

Sebastián

Siva

Sebastián

Respuestas (1)

Rafael de Amelio

Sebastián

Rafael de Amelio

Sebastián

Rafael de Amelio

¿El potencial eléctrico es siempre continuo?

Solución general de la ecuación de Poisson [cerrado]

Potencial de distribución de carga arbitraria

Fuerza de campo eléctrico vs potencial eléctrico

¿Cuál es el significado del límite inferior en V(r)=−∫r∞E(r′)dr′V(r)=−∫∞rE(r′)dr′V(r)=-\int_{\ infty}^r E(r^{\prime})\,dr^{\prime}?

¿Cuál es la diferencia entre la energía potencial y la energía de una carga de prueba debida al campo eléctrico?

¿Qué encuentra exactamente la integral de línea de un campo eléctrico en un circuito cerrado?

Potenciales Complejos, Potenciales y Campos

Tonterías potenciales

Potencial eléctrico en una placa infinita