¿Qué encuentra exactamente la integral de línea de un campo eléctrico en un circuito cerrado?

Sin un campo magnético existente,$\oint{\vec{E}\cdot d\ell=0}$siempre es verdad

Su error es que no considera el efecto de borde de un capacitor de placas paralelas. Como la imagen que puedes ver,

cuando te acercas al borde de las placas paralelas, la componente horizontal del campo eléctrico no se puede despreciar. Contando este efecto, puede tener dos campos eléctricos diferentes, y la ley de un campo eléctrico conservativo sigue siendo cierta.

Ha creado un campo vectorial que no puede ser un campo electrostático. Esto es porque$\oint \mathbf E \cdot \text d\mathbf l \neq 0$para el campo

Si desea ser más cuidadoso con su configuración, las líneas de carga finitas tienen campos marginales que se extienden más allá de las líneas de carga. Si tuvieras esto en cuenta, obtendrías una integral de línea cero.

Considere un campo vectorial suave$\mathbf{E}:\Bbb{R}^3\to\Bbb{R}^3$de la forma$\mathbf{E}(x,y,z)= f(x,z)\,\mathbf{e}_y= (0,f(x,z),0)$. Ahora, al integrar sobre un bucle rectangular como el suyo (que se encuentra dentro de un plano de constante$z$) encontramos eso

Así que si$E_1\neq E_2$entonces el RHS es distinto de cero, lo que prueba que dicho campo vectorial$\mathbf{E}$NO es conservador.

Para responder a sus dos preguntas explícitamente:

1. Si toma un campo electrostático (que es bastante conservador por definición de "electrostático") e integra en un circuito cerrado, el resultado siempre es cero. Por lo tanto, es trivialmente cierto que la diferencia de potencial (que está bien definida debido a que el campo es conservativo) entre el punto$A$y punto$A$es$0$.

2. "Nunca puedes crear dos campos eléctricos diferentes..." Debes tener mucho cuidado con tu redacción. La afirmación correcta es "un campo vectorial uniforme de la forma$\mathbf{E}(x,y,z)=f(x,z)\,\,\mathbf{e}_y = (0,f(x,z),0)$(dónde$f$es una función no constante de$x$) no es conservativo y, por lo tanto, no surge como resultado de un campo electrostático".

La razón por la que te confundiste es porque dejaste que el dibujo te engañara. Parece dibujar dos condensadores de placas paralelas, que es el ejemplo típico de una configuración de carga que produce un campo constante en la dirección normal a las placas. Sin embargo, debe tener en cuenta que esto solo es cierto cuando las placas tienen un tamaño infinito (por lo que ciertamente no podemos tener dos juegos de estos "uno al lado del otro").

En el caso que ha dibujado, hay dos condensadores de placas paralelas de tamaño finito. En este caso, el campo eléctrico NO tiene la forma especial$\mathbf{E}(x,y,z)= (0,f(x,z),0)$, que es lo que erróneamente sugiere el dibujo. El campo correcto parece muy complicado. A continuación se muestra una imagen que encontré que muestra aproximadamente cómo se ven las líneas de campo para un solo capacitor de placas paralelas.

Como puede ver en la imagen misma, este campo vectorial tiene$\mathbf{e}_x$componente y también un$\mathbf{e}_z$componente (al contrario de lo que sugiere su dibujo simplista).

Si considera dos de ellos y los coloca separados uno del otro (digamos a 10 metros de distancia), estoy seguro de que puede imaginar que las líneas de campo son extremadamente complicadas. Por supuesto, realizar analíticamente tales integrales de línea es casi imposible, pero es una cuestión de experimentación (y, por lo tanto, teoría) que tales campos sean conservativos, por lo que la integral de bucle siempre es$0$.

Para que los vectores de campo eléctrico sean normales como lo has mostrado, debe ser que las placas del capacitor se consideren infinitamente grandes.

Esto hará que las dos placas que has mostrado separadas en el espacio sean esencialmente porciones de esta gran placa ideal considerada para derivar la fórmula.

Podría intentar mantener una densidad de carga diferente en diferentes partes de esta placa matemática, pero para el caso electrostático, eventualmente se redistribuirá de manera que el campo dentro del metal sea cero.

Por lo tanto, no hay contradicción.

Otra forma de verlo es tratar de trazar el potencial. La región entre cada par de placas es bastante uniforme, y una es mucho más empinada que la otra, pero el campo en la región del medio las une suavemente. El potencial a lo largo de cualquier trayectoria en el plano sube y baja, pero las subidas tienen que ser iguales a las bajadas alrededor de cualquier lazo.

El campo eléctrico es el gradiente del potencial, puedes pensar en él como un poco como$d\phi/dl$a medida que avanza a lo largo de la línea. Eso es,$E\cdot dl$es la cantidad que sube o baja la superficie a medida que avanza una distancia a lo largo del camino. Esto tiene que ser igual a cero alrededor de cualquier ciclo, ya que debe terminar a la misma altura que comenzó, pero no hay contradicción con las diferentes partes de la línea que tienen diferentes gradientes. El problema es usar la aproximación de campo uniforme más allá de su rango de validez.