Solución general de la ecuación de Poisson [cerrado]

Cómo encontrar la solución general de la ecuación de Poisson en electrostática.

∇ 2 V = − ρ ϵ 0

Donde, V = potencial eléctrico ρ = densidad de carga alrededor de cualquier punto εₒ = permitividad absoluta del espacio libre.

Esto es demasiado amplio para nuestro formato, pero probablemente desee leer sobre las funciones de Green .

Respuestas (2)

La ecuación de Poison es una ecuación diferencial parcial (PDE), por lo que se resuelve usando técnicas de cálculo diferencial (o algo más elaborado). Por lo general, primero se resuelve la parte homogénea de la ODE en cuestión y luego, en segundo lugar, la parte no homogénea, y luego se combinan las dos soluciones para obtener una solución general. Por supuesto, una densidad de carga, ρ ( X , y , z ) , debe especificarse para resolver la parte no homogénea de la PDE. Este es un ejercicio de rutina de introducción a E&M, lo que significa que hay mucha información disponible al respecto:

Aquí hay una solución explícita de la ecuación de Laplace usando el método de Separación de Variables http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/LaplacesEqn.aspx

Aquí hay una solución de la ecuación de Poisson usando el método de las funciones de Green http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node31.html

Recomiendo el libro de texto Introducción a E&M de Griffith para obtener más referencias sobre cómo resolver condiciones de contorno específicas para la ecuación de Poisson, aquí hay un pdf que encontré en línea (espero que esté bien hacerlo) http://kestrel.nmt.edu/~mce/griffiths_4 .pdf

Para obtener más referencias sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales, consulte Métodos matemáticos en las ciencias físicas de M. Boas https://www.amazon.com/Mathematical-Methods-Physical-Sciences-Mary/dp/0471198269

Una introducción decente al libro de ecuaciones diferenciales es de R. Haberman https://www.amazon.com/Applied-Differential-Equations-Boundary-Problems/dp/032179706X

Editar: el uso del enfoque de función de Green generalmente se enseña / aprende después del enfoque de Separación de variables. Las funciones de Green requieren más familiaridad con la abstracción matemática que la separación de variables. Además, la separación de variables le permite al estudiante ver los "tuercas y tornillos" de la EDO sin perderse en los teoremas de unicidad y reciprocidad (especialmente cuando se consideran distribuciones de carga no triviales). El estudiante apasionado debe aprender el método de las funciones de Green, sin embargo, si quiere seguir la escuela de posgrado (ver en Electrodinámica clásica de John David Jackson).

"La ecuación de Poison es una ecuación diferencial ordinaria (EDO)" En realidad, tanto ella como la ecuación de Laplace son ecuaciones diferenciales parciales (EDP).
@D.Halsey Estaba a punto de escribir esto. Creo que el OP debe significar que es una ODE para soluciones separables.

Ver para la ecuación de Poisson

http://farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node31.html

La solución general de la ecuación de Poisson es

ϕ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′

Intuitivamente, descomponer ρ en cargas puntuales. Luego, cada carga puntual se 'borra' por 1/r para producir su potencial. Y finalmente se suman los potenciales individuales de las cargas puntuales.

Esta es una solución, pero no la solución general. Por ejemplo, puede agregarle cualquier constante y aún satisfará la ecuación.
También puede agregar cualquier función armónica y también obtener una solución válida no limitada a una constante, sin embargo, esto cambiará el valor de E
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