Me encontré con el siguiente problema:
Supongamos que cierto material consiste en átomos que están ordenados en una red 2D con una constante de red , y que cada átomo dona dos electrones de conducción en -nivel. Determinar si el material es un conductor o un aislante, usando NFE y los modelos de enlace apretado.
Y la siguiente solución que no entiendo completamente:
Usando el modelo de unión estrecha : hay una banda de energía de la forma
La primera zona de Brillouin contiene estados de impulso. Teniendo en cuenta dos posibles orientaciones de giro, deducimos que la banda tiene estados de electrones. Pero como hay átomos y cada átomo dona exactamente dos electrones tenemos electrones lo que significa que la banda estaría completamente llena. Por lo tanto, obtenemos un aislante . (Tenga en cuenta que la forma exacta de la banda no importa en este caso).
Usando el modelo de electrones casi libres : el punto de partida es la suposición de que los electrones son libres y, por lo tanto, la ocupación de los niveles de energía está determinada por la superficie de Fermi. Para calcular el radio de la superficie de Fermi observamos que hay electrones en el cristal. Por lo tanto:
De este modo
Entonces, la superficie de Fermi es un poco más grande que la zona de Brillouin (con pequeñas deformaciones en los bordes). En otras palabras, BZ1 estará casi completamente lleno y BZ2 estará casi completamente vacío --> Dos bandas parcialmente llenas --> el material es un conductor .
Un par de preguntas:
¿Por qué no podemos usar el concepto de superficie de Fermi en la aproximación de unión estrecha? ¿Cómo la suposición de que los electrones son (casi) libres (en el modelo NFE) implica que la ocupación está determinada por la superficie de Fermi? ¿No está siempre determinada por la superficie de Fermi, independientemente del modelo que utilicemos?
Si no recuerdo mal el número de -estados en una sola zona de Brillouin es igual al número de celdas unitarias en todo el sistema ( en este caso), es decir, no tiene nada que ver con el modelo que usamos para describir los electrones. Entonces, ¿por qué este hecho solo se usa en el modelo de vinculación estricta pero no en el modelo NFE?
¿No deberían coincidir los dos modelos en si el material es un conductor o un aislante? Y si no, ¿cuál da el resultado correcto?
Por convención, la superficie de Fermi separa los estados llenos de los vacíos, donde estos están infinitesimalmente cerca , es decir, donde el límite cae en el medio de una banda. Si el límite (el nivel de Fermi) cae en una banda prohibida, decimos que un material no tiene superficie de Fermi. Así, una definición de un conductor metálico es "un sólido con una superficie de Fermi".
En el modelo NFE, solo hay espacios de banda muy pequeños, que se tratan como perturbaciones del gas de electrones libres, y siempre habrá una superficie de Fermi. Por otro lado, en la aproximación de unión estrecha, hay grandes espacios entre las bandas, y si (como en este caso) tenemos una banda llena, no habrá superficie de Fermi.
Tiene razón en que el número de -estados es el mismo en ambos casos, pero sólo es importante determinar la conductividad en el caso de TB.
En ambos, la región ocupada en el espacio recíproco tiene la misma área que la primera zona de Brillouin, porque cada átomo aporta dos electrones.
En el caso de NFE, no hay (casi) brecha de banda y, por lo tanto, (casi) ninguna penalización por salir de la primera zona de Brillouin. Por lo tanto, la superficie de Fermi tiene (casi) su forma natural de círculo (y predeciríamos el comportamiento metálico sin importar cuántos electrones contribuyera cada átomo).
En el caso de TB, hay una gran brecha de banda y, por lo tanto, una gran penalización por salir de la primera BZ. Por tanto, la región ocupada tiene la misma forma cuadrada que la primera BZ y tenemos un aislador en este caso. (Pero si cada átomo solo aportara un electrón, tendríamos una banda medio llena y un metal; por eso debemos considerar el número de -estados en este caso solo.)
En última instancia, estos dos modelos se acercan al mismo lugar desde direcciones opuestas: el modelo NFE dice que los sólidos son básicamente metales, con algunas pequeñas perturbaciones que podrían convertirlos en aislantes, y el modelo TB dice que los sólidos son básicamente aislantes, con algunas pequeñas perturbaciones que podrían convertirlos en aislantes. hacerlos metales. Podría pensar en ellos como la serie de Taylor para la misma función expandida sobre diferentes puntos. Ambos son aproximaciones a lo mismo, pero eso no significa que tengan que estar de acuerdo entre sí: cada uno es mejor que el otro en diferentes regiones.
Para decidir qué modelo es más apropiado para un sistema real, necesitaríamos ser más cuantitativos. En el modelo NFE, esto significaría especificar el potencial periódico débil (o, más específicamente, sus componentes de Fourier). En el modelo TB, significaría introducir más orbitales y ser preciso sobre su superposición.
Dados los valores cuantitativos de cada modelo, es posible que predigan las mismas bandas y, por lo tanto, el mismo comportamiento. Pero con tan poca información como la que le dieron en este problema, no podemos ir más allá de la solución funcional que dio, incluido el hecho de que los modelos dan predicciones diferentes.
jacob1729
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