¿Los diferentes operadores de creación/aniquilación siempre se desplazan?

Si ambos operadores están asociados con fermiones, serán anticonmutadores, pero de lo contrario sí.

En primer lugar, responderé una pregunta similar a la tuya. La esencia de la teoría cuántica de campos es que normalmente consideramos pequeñas perturbaciones en torno a teorías libres. Es decir, dado un conjunto de$N_b$campos bosónicos$\phi_i$y$N_f$campos fermiónicos$\psi_i$(consideremos sólo el giro$0$y girar$1/2$), entonces la acción típica considerada está dada por

Dónde$\epsilon$es un pequeño parámetro alrededor del cual perturbamos. La expansión de los campos en términos de modos de Fourier solo es verdaderamente válida en$\epsilon=0$, en cuyo punto no hay interacción entre los campos, y la acción completa es simplemente la suma de varias acciones libres de diferentes partículas. Por lo tanto, cada uno se cuantifica de forma independiente ya que el operador de evolución temporal no tiene posibilidad de mezclar los campos.

Así, cuando$\epsilon=0$, no hay forma de que los modos de Fourier (operadores de creación y aniquilación) de diferentes campos puedan (anti) conmutar para dar un resultado distinto de cero. (Debo tener cuidado al decir esto. Definamos un paréntesis$[.,.\}$tal que produce un conmutador para dos operadores bosónicos, un anticonmutador para dos operadores fermiónicos y un conmutador para un operador bosónico y fermiónico. Entonces esta afirmación es que, dados dos modos de Fourier$a$y$b$de diferentes campos, deberíamos tener$[a,b\}=0$.) Entonces, las interacciones están dadas por el hecho de que la acción de interacción$S_{\text{int}}$contiene productos de modos de Fourier de diferentes campos.

Ahora, para responder a la primera parte de su pregunta, sobre las relaciones de conmutación de campos escalares complejos. Consideremos la acción de las partículas libres

Esto se puede reducir a la suma de las acciones de partículas escalares introduciendo$\varphi_1=(\varphi+\varphi^{\dagger})/\sqrt{2}$y$\varphi_2=(\varphi-\varphi^{\dagger})/\sqrt{2}\,i$, Lo que significa que$\varphi_1$y$\varphi_2$Son reales. La acción aquí se convierte en

Dada la descomposición que diste, podemos introducir$c_{\textbf{k}}\equiv(a_{\textbf{k}}+b_{\textbf{k}})/\sqrt{2}$y$d_{\textbf{k}}\equiv(a_{\textbf{k}}-b_{\textbf{k}})/\sqrt{2}\,i$, entonces podemos expandir nuestros campos como

Ahora, debido al análisis anterior, sabemos que el$c$y$d$los operadores viajan. Además, la cuantización canónica nos da

Con todas las demás relaciones desapareciendo. A partir de esto, no es difícil demostrar que el$a$y$b$los operadores se desplazan entre sí.

Hay un tema en el que esto es mucho más sutil, y la cuantización introduciendo modos de Fourier no es útil. Si, en la acción en la parte superior de esta respuesta no tiene$\epsilon\ll 1$, entonces ya no podemos pensar en$S$como una deformación de una teoría cuántica libre de campos. Las ecuaciones clásicas de movimiento ya no serán las de una partícula libre y, por lo tanto, dado que las interacciones dependerán de combinaciones de diferentes campos, ya no tendremos la invariancia traslacional que hizo que la ecuación de Klein-Gordon fuera soluble por descomposición de Fourier.

Ahora, mostraré un ejemplo de cuándo existe una teoría de campo de interacción fuerte en la naturaleza (QCD). Considere la acción de$SU(N)$Teoría de Yang-Mills (si aún no ha estudiado la teoría de calibre no abeliano, lo que parece ser el caso, el análisis aún es accesible), dada por

Dónde$F_{\mu\nu}$es un tensor de$N\times N$matrices dadas por

(Tenga en cuenta que estamos trabajando en la firma euclidiana, donde la métrica viene dada por$\delta_{\mu\nu}$). El$A_{\mu}$son campos vectoriales (tradicionalmente gluones) dados por$N\times N$matrices que viven en el Álgebra de Lie de$SU(N)$. Está claro que esta acción tiene interacciones cúbicas y cuarticas entre los gluones. Ahora, si hacemos las redefiniciones de campo$A\to gA$, entonces los términos cúbicos en la acción son ponderados por$g$y los términos cuarticos son ponderados por$g^2$. Por lo tanto, todo está bien y elegante si$g\ll 1$. Sin embargo, si$g$es grande, entonces los términos de interacción ya no pueden considerarse perturbaciones y la descomposición de Fourier ya no es útil. Este es exactamente el caso en QCD, donde la constante de acoplamiento es grande a bajas energías.

¡Espero que esto haya ayudado!

En general, las personas definen estos operadores para que sigan estas reglas. Es un requisito que sean operadores numéricos y, por lo tanto, de cualquier utilidad.