operador actual en el modelo de Hubbard

Una derivación muy simple para el operador actual en una red es interpretar la ecuación de movimiento de Heisenberg como ecuación de continuidad.

Si te interesa la corriente de una cantidad$\hat Q_i$(un operador local definido para cada sitio$i$, que podría ser, por ejemplo, el número de partículas$\hat Q_i=\hat n_i=\hat a_i^\dagger \hat a_i$), primero deriva la ecuación de movimiento de Heisenberg

$$\frac{d}{dt}\hat Q_i=i[\hat H, \hat Q_i].$$ Esto ya tiene la forma de una ecuación de continuidad (es decir, $\dot\rho+\nabla\cdot\vec I=0$), por lo que puede interpretar la RHS como una versión de diferencia finita de $-\nabla\cdot\vec I$.

Por ejemplo, si tienes$H=\sum_{<ij>}J_{ij}a_i^\dagger a_j+\text{H.c.}$, tu encuentras

$$\frac{d}{dt}\hat n_i=i\sum_{j\in\{\text{nearest neigbours}\}}(J_{ij}a_i^\dagger a_j-J_{ij}^*a_j^\dagger a_i),$$ de modo que pueda interpretar la corriente del sitio $i$a $j$como $$\hat I_{ij}=i(J_{ij}a_i^\dagger a_j-J_{ij}^*a_j^\dagger a_i).$$

Totalmente revisado

Inicialmente entendí que su pregunta se refería al límite continuo del modelo de Hubbard. A juzgar por su otra pregunta, ahora me doy cuenta de que quería preguntar sobre los operadores actuales en un modelo de celosía . Como en, desde la perspectiva del modelo de celosía solo (sin pensar en ningún espacio real del que podría haberse derivado), ¿cómo hablamos de corriente conservada?

Tenga en cuenta que, dado que estamos en una red, ya no existe una noción normal de derivada, por lo que la ecuación de continuidad$\nabla\cdot j = \partial_t\rho$ya no tiene ningún sentido. También la prescripción del acoplamiento mínimo de Peierls/es ambigua porque depende del camino que tomemos de un sitio a otro a través del espacio continuo real. Antes de continuar, permítanme decir que casi siempre es suficiente definir una corriente conservada a través de una fórmula aproximada como

$$j(q) \approx e\int_{BZ} \!\!\!dk v(k)\psi^\dagger(k)\psi(k+q),$$ especialmente porque el modelo de celosía es en sí mismo una aproximación, y casi siempre nos preocupa una porción muy pequeña de la Zona de Brillouin.

Pero nos gustaría una corriente conservada en la red. Nos gustaría interpretar la ecuación de continuidad como una diferencia finita, algo así como$j(x+a) - j(x) = \partial_t \rho$. Creo que la forma correcta de hablar de esto es imaginar que tu operador actual vive en los bordes de tu red. Para mayor precisión, digamos que tenemos una red (hiper) cúbica. Sus vértices están etiquetados por un vector de números enteros$\vec{n}$, con los bordes conectando vecinos más cercanos. Orienta tus bordes para que apunten en la dirección de la coordenada creciente. Ahora asociado con cada borde$e$definir un operador$j$. Nuestra ecuación de continuidad es entonces

$$\sum_{e\in in(n)}\!\!j(e) - \!\!\sum_{e\in out(n)}\!\!\!j(e) = \partial_t Q(\vec{n})$$

(que es simplemente la Ley de Kirchoff). Ahora queremos una definición local de$j$en términos de los campos, que deberíamos obtener debido a algo como el teorema de Noether. Para el salto del vecino más cercano como en el modelo de Hubbard, obtenemos

$$j(e) = i\left[\bar{c}_{n_2}c_{n_1} - \bar{c}_{n_1} c_{n_2}\right]$$ dónde $\bar{c}$y $c$son los operadores de creación y aniquilación de electrones respectivamente, y $n_1$y $n_2$son los dos vértices conectados por $e$. Puedes calcular a mano que esto satisface la ecuación de continuidad.

Tenga en cuenta que, en general, no podemos simplemente definir$j$ser un vector que vive en los vértices (como promediando sobre los bordes como se muestra a continuación). Esto funciona en la red cuadrada pero no, por ejemplo, en la red triangular en el plano. Puedes ver esto ya que hay seis vecinos más cercanos pero solo dos dimensiones, por lo que un vector no tiene suficientes grados de libertad para satisfacer una ecuación de continuidad. También es una buena forma tener la corriente viva en los bordes porque esta es la forma de convertir objetos geométricos en el continuo en objetos geométricos en una red: escalares como el potencial eléctrico viven en los vértices, formas 1 como la corriente o el campo E en vivo en los bordes, 2-formas como el campo magnético viven en las plaquetas, etc... Esta definición también le permite conectarse a la prescripción de sustitución mínima, ya que los campos de calibre viven en los bordes.

Para tomar el límite continuo de esta formulación, simplemente defina el vector

$$\tilde{j}(x_n) = \sum_{e\in in(n)}\hat{e}j(e) - \sum_{e\in out(n)}\hat{e}j(e)$$ , dónde $x_n$es la posición espacial real del $\vec{n}$sitio y $\hat{e}$es el vector espacial real correspondiente al borde de la red. Si observa esto en el espacio de Fourier, verá que recupera la ecuación de continuidad habitual.

Mencioné el teorema de Noether en la versión original de esta respuesta. Hay, me he convencido a mí mismo, una declaración de que cualquier generador de simetría local en una red tiene una corriente conservada, pero es torpe y realmente no veo ninguna razón para decirlo en general. Permítanme decir este caso específico: supongamos que su hamiltoniano se puede escribir como

$$H= \sum_n\mathcal{H}_1(\psi(n),n) + \sum_{<nm>}H_2(\psi^i_n,\psi^j_m;n,m)$$ , dónde $\psi^i_n$son campos que viven en la $n$vértice y la suma $<mn>$se toma sobre todos los pares $<m,n>$vecinos más cercanos. Entonces, tiene un hamiltoniano que tiene un término que involucra lo más cerca posible (por ejemplo, no tiene vecinos más cercanos). Ahora, si tiene un generador de simetría local $Q(n)$, que actúa sobre los campos $\psi(n)$y $[\sum_n Q(n), H]= 0$, entonces hay una corriente conservada

$$j_Q(e) = \frac{i}{2}\left[Q(n)-Q(m),H_2(\psi^i_n,\psi^j_m,n,m)\right]$$

dónde$n$y$m$son los dos vértices$e$se conecta Este$j_Q$satisface la ecuación de continuidad. Simplemente puede enchufar y calcular. Nota la$Q(n)$tiene que ser local; como en$[Q(n),\psi^i_n]$depende solo de los campos$\psi^j_n$y$[Q(n),\psi^i_m] = 0$cuando$n\neq m$. Pero esto le da, por ejemplo, las corrientes de giro y carga para un hamiltoniano arbitrario como el anterior.

También podría mirar la ecuación de continuidad: si la densidad de partículas se conserva localmente, entonces$\partial_t \rho(r) = -\nabla j(r)$, y también$\partial_t \rho(r) = -i [\rho(r),H]$. En el modelo de Hubbard, encontrará que el término de interacción conmuta con el operador de densidad y, por lo tanto, no contribuye a la corriente.

Otra forma sería agregar el acoplamiento a un vector potencial (sustitución de Peierls, si ha oído hablar de ella) y tomar la derivada con respecto a A:$j(r) \propto \frac{\delta H}{\delta A(r)}$