Olimpiada Teoría de números Problema Solución Duda

[iberoamericano$1998]$Dejar$\lambda$sea ​​la raiz positiva de la ecuacion$t^{2}-1998 t-1=0 .$Definir la secuencia$x_{0}, x_{1}, \ldots$configurando$x_{0}=1, \quad x_{n+1}=\left\lfloor\lambda x_{n}\right\rfloor \quad(n \geq 0)$Encuentre el resto cuando$x_{1998}$se divide por 1998

$1998<\lambda=\frac{1998+\sqrt{1998^{2}+4}}{2}=999+\sqrt{999^{2}+1}<1999$

$$\begin{aligned} x_{1}=1998, x_{2}=& 1998^{2} . \text { since } \lambda^{2}-1998 \lambda-1=0 \\ \lambda=1998+\frac{1}{\lambda} & \text { and } x \lambda=1998 x+\frac{x}{\lambda} \end{aligned}$$

para todos los números reales$x$.

desde$x_{n}=\left\lfloor x_{n-1} \lambda\right\rfloor$tenemos

$x_{n}<x_{n-1} \lambda<x_{n}+1, \quad \text { or } \quad \frac{x_{n}}{\lambda}<x_{n-1}<\frac{x_{n}+1}{\lambda}$

desde$\lambda>1998,\left\lfloor\frac{x_{n}}{\lambda}\right\rfloor=x_{n-1}-1 .$

como encontraron $\left\lfloor\frac{x_{n}}{\lambda}\right\rfloor=x_{n-1}-1$???