Sea (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) una terna pitagórica. Demostrar que ( ?? ca + ?? cb ) 2 (?? entero.

Question

Sea (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) una terna pitagórica. Demostrar que ( ?? ca + ?? cb ) 2 (?? entero.

Matemáticas
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triples pitagóricos
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marconio

Dejar $(a, b, c)$ sea una terna pitagórica, es decir, un triplete de enteros positivos con $a^2 + b^2 = c^2$ .

a) Demostrar que
${(\frac{?? C}{a} + \frac{?? C}{b})}^{2} > 8$ $\left(\dfrac{􀀀c}{a}+\dfrac{􀀀c}{b}\right)^2 > 8$

b) Demostrar que no hay enteros $n$ y terna pitagórica $(a, b, c)$ satisfactorio
${(\frac{?? C}{a} + \frac{?? C}{b})}^{2} = norte$ $\left(\dfrac{􀀀c}{a}+\dfrac{􀀀c}{b}\right)^2 = n$

La pregunta anterior es de la Olimpiada Nacional de Canadá de 2005.

Necesito ayuda con la parte (b).

parte (a)

Examine el comportamiento de la siguiente función [que incorpora la restricción $c^2=a^2+b^2$ , $x$ puede desempeñar el papel de cualquiera $a$ o $b$ ] en $(0,c)$ :

\begin{matrix} (1) & F (X) = \frac{C}{X} + \frac{C}{\sqrt{C^{2} - X^{2}}} \end{matrix}

$f(x) = \dfrac{c}{x} + \dfrac{c}{\sqrt{c^2-x^2}} \tag{1}$

Ahora encuentra la derivada:

\begin{matrix} (2) & F^{'} (X) = C X [\frac{1}{(C^{2} - X^{2})^{3 / 2}} - \frac{1}{X^{3}}] \end{matrix}

$f'(x)=cx\left[\dfrac{1}{(c^2-x^2)^{3/2}}-\dfrac{1}{x^3}\right] \tag{2}$

Para encontrar los extremos locales:

\begin{aligned} F^{'} (X) = 0 & ⟹ X^{3} = (C^{2} - X^{2})^{3 / 2} \\ ⟹ X^{6} = (C^{2} - X^{2})^{3} & (cuadrar) \\ ⟹ {tu}^{3} = (k - tu)^{3} & (tu = X^{2}, k = C^{2}) \\ ⟹ 2 {tu}^{3} - 3 k {tu}^{2} + 3 k^{2} tu - k^{3} = 0 \\ (3) & ⟹ (2 tu - k) ({tu}^{2} + - k tu + k^{2}) = 0 \end{aligned}

$\begin{align} f'(x)=0 &\implies x^3=(c^2-x^2)^{3/2} \\ &\implies x^6=(c^2-x^2)^3 &(\text{squaring}) \\ &\implies u^3=(k-u)^3 &(u=x^2,k=c^2) \\ &\implies 2u^3-3ku^2+3k^2u-k^3=0 \\ &\implies (2u-k)(u^2+-ku+k^2)=0 \tag{3}\\ \end{align}$

Entonces, las soluciones son:

tu = \frac{k}{2}; tu = \frac{k \pm \sqrt{k^{2} - 4 k^{2}}}{2} \notin R

$u=\dfrac{k}{2};u=\dfrac{k\pm\sqrt{k^2-4k^2}}{2}\notin\mathbb{R}$

Así que toma la única solución real como

tu = \frac{k}{2} ⟹ X^{2} = \frac{C^{2}}{2} ⟹ X = \frac{C}{\sqrt{2}} (desde X \in (0, C))

$u=\dfrac{k}{2} \implies x^2=\dfrac{c^2}{2} \implies x=\dfrac{c}{\sqrt2}\quad(\text{since }x\in(0,c))$

Este es un mínimo local porque $f$ es continua en $(0,c)$ y

\underset{X \to 0^{+}}{límite} F (X) = \underset{X \to C^{-}}{límite} F (X) = + \infty

$\lim_{x\to0^+}{f(x)}=\lim_{x\to c^-}{f(x)}=+\infty$

El valor mínimo es

\begin{matrix} (4) & F (\frac{C}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \end{matrix}

$f\left(\dfrac{c}{\sqrt2}\right)=\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2 \tag{4}$

Este valor no es alcanzable, porque $\sqrt{2}$ no es un número racional. Por eso,

\begin{matrix} (5) & [F (a)]^{2} = {(\frac{?? C}{a} + \frac{?? C}{b})}^{2} > (2 \sqrt{2})^{2} = 8 \end{matrix}

$[f(a)]^2 = \left(\dfrac{􀀀c}{a}+\dfrac{􀀀c}{b}\right)^2 > (2\sqrt2)^2 = 8 \tag{5}$

Parte B)

\begin{aligned} (6) & {(\frac{?? C}{a} + \frac{?? C}{b})}^{2} = norte ⟹ C^{2} (a^{2} + b^{2}) = a^{2} b^{2} \cdot norte \end{aligned}

$\begin{align} \left(\dfrac{􀀀c}{a}+\dfrac{􀀀c}{b}\right)^2 = n \implies c^2(a^2+b^2)=a^2b^2\cdot n \tag{6} \end{align}$

en una forma quizás más amigable.

No estoy seguro de cómo usar esto más.

watson

Creo que tu publicación podría tener algunos problemas de formato, veo los símbolos "??" en muchos lugares... Esto probablemente se deba a mi navegador.

Rezwan Arefin

@Watson Nope... Creo que no es un problema del navegador... Veo lo mismo:| Vaya a editar y vea que también tiene esos en el texto: |

señor pastel

todo lo que veo es

◻ ◻ ◻ ◻ ◻ ◻ ◻ ◻ ◻ ◻ ◻ ◻ ◻ ◻

$\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box$

Respuestas (3)

Sea (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) una terna pitagórica. Demostrar que ( ?? ca + ?? cb ) 2 (?? entero.

Creo que tu publicación podría tener algunos problemas de formato, veo los símbolos "??" en muchos lugares... Esto probablemente se deba a mi navegador.
@Watson Nope... Creo que no es un problema del navegador... Veo lo mismo:| Vaya a editar y vea que también tiene esos en el texto: |
todo lo que veo es $\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box\Box$

Baminovski · Answer 1

Si $(a,b,c) \in \mathbb{N}^3$ es una terna pitagórica, entonces sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $a=\left(m^2-n^2\right)d$ , $b=2mnd$ , y $c=\left(m^2+n^2\right)d$ para algunos enteros positivos $m,n,d$ con $m>n$ , $\gcd(m,n)=1$ , y $m\not\equiv n\pmod{2}$ .

ahora tenemos

t := \frac{C}{a} + \frac{C}{b} = \frac{{metro}^{2} + {norte}^{2}}{{metro}^{2} - {norte}^{2}} + \frac{{metro}^{2} + {norte}^{2}}{2 metro norte} = \frac{({metro}^{2} + {norte}^{2}) ({metro}^{2} - {norte}^{2} + 2 metro norte)}{2 metro norte ({metro}^{2} - {norte}^{2})} .

$t:=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}+\frac{m^2+n^2}{2mn}=\frac{\left(m^2+n^2\right)\left(m^2-n^2+2mn\right)}{2mn\left(m^2-n^2\right)}\,.$ Tenga en cuenta que, desde

t \in Q

$t\in\mathbb{Q}$ , vemos eso

t^{2} \in Z

$t^2\in\mathbb{Z}$ si y si

t \in Z

$t\in\mathbb{Z}$ . Ahora,

t \in Z

$t\in\mathbb{Z}$ implica que

2 m n

$2mn$ divide

(m^{2} + n^{2}) (m^{2} - n^{2} + 2 m n)

$\left(m^2+n^2\right)\left(m^2-n^2+2mn\right)$ . Desde

gcd (m, n) = 1

$\gcd(m,n)=1$ y

m ≢ n (\mod 2)

$m\not\equiv n\pmod{2}$ , vemos eso

gcd (m^{2} + n^{2}, 2 m n) = 1

$\gcd\left(m^2+n^2,2mn\right)=1$ . Por lo tanto,

2 m n

$2mn$ debe dividir

m^{2} - n^{2} + 2 m n

$m^2-n^2+2mn$ , lo que significa

2 m n ∣ m^{2} - n^{2}

$2mn\mid m^2-n^2$ . Nuevamente, tenemos

gcd (2 m n, m^{2} - n^{2}) = 1

$\gcd\left(2mn,m^2-n^2\right)=1$ , lo que conduce a una contradicción. Por eso,

t \notin Z

$t\notin\mathbb{Z}$ , entonces

t^{2} \notin Z

$t^2\notin\mathbb{Z}$ .

Tenga en cuenta que $t$ puede acercarse arbitrariamente a $2\sqrt{2}$ . Podemos encontrar $m$ y $n$ tal que $\frac{m}{n}$ está arbitrariamente cerca de $1+\sqrt{2}$ . Si $r:=\frac{m}{n}$ , entonces

t = \frac{(r^{2} + 1) (r^{2} - 1 + 2 r)}{2 r (r^{2} - 1)},

$t=\frac{\left(r^2+1\right)\left(r^2-1+2r\right)}{2r\left(r^2-1\right)}\,,$ así como

r \to 1 + \sqrt{2}

$r\to 1+\sqrt{2}$ ,

t \to 2 \sqrt{2}

$t\to 2\sqrt{2}$ .

paolo leonetti · Answer 2

Por ahora, te demuestro la parte (a) con un enfoque diferente. dividiendo por $c^2=a^2+b^2$ , sacando la raíz cuadrada y multiplicando por $-1/2$ , la desigualdad se puede reescribir como

\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} < \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}},

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}<\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},$ que es simplemente HM-QM. La igualdad no puede sostenerse porque no puede darse el caso de que

a = b

$a=b$ (en efecto

2 a^{2}

$2a^2$ no puede ser un cuadrado).

Gracias, eso es mucho más simple. Voy a dedicar un tiempo de calidad a las desigualdades HM-GM-AM-QM.

Wojowu · Answer 3

Primero tenga en cuenta que si $n$ fuera un cuadrado de un número racional, entonces sería un cuadrado de un número entero. Así que si $(\frac{c}{a}+\frac{c}{b})^2$ fuera un número entero, por lo que sería $\frac{c}{a}+\frac{c}{b}$ . Al dividir por el factor común, podemos suponer que el triple $(a,b,c)$ es primitivo, es decir, no hay dos números que compartan un factor primo.

Ahora $\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=\frac{ca+cb}{ab}$ . Si esto fuera un número entero, tendríamos (en particular) $a\mid ca+cb$ , entonces $a\mid cb$ . Pero $a,b,c$ no comparten ningún factor primo, por lo que tendríamos que tener $a=1$ . Pero $1$ no es elemento de ninguna terna pitagórica.

Sea (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) una terna pitagórica. Demostrar que ( ?? ca + ?? cb ) 2 (?? entero.

marconio

parte (a)

Parte B)

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Respuestas (3)

Baminovski

paolo leonetti

marconio

Oussama Boussif

Wojowu

¿Cómo descender dentro del “Árbol de las ternas pitagóricas primitivas”?

Triple meta-pitagórico

Buscando referencias a subconjuntos triples pitagóricos

Prueba de que el producto de las hipotenusas pitagóricas primitivas es también una hipotenusa pitagórica primitiva

Prueba que involucra triples pitagóricos primitivos

¿Hay números enteros positivos a,b,c,da,b,c,da, b, c, d tales que (a,b,c)(a,b,c)(a, b, c) y ( b,c,d)(b,c,d)(b, c, d) son ternas pitagóricas?

¿Cuántas formas hay de darse la mano?

¿Cuántas variaciones de las nuevas ternas pitagóricas primitivas hay cuando la hipotenusa se multiplica por un primo?

Cómo mostrar si mmm y nnn son coprimos y m−nm−nm-n es impar, entonces (m2−n2)2(m2−n2)2(m^2-n^2)^2, (2mn)2( 2mn)2(2mn)^2, (m2+n2)2(m2+n2)2(m^2+n^2)^2 tienen un factor común?

¿Cómo se construye el triple árbol ternario de Pitágoras?