Muestre que para cada entero nnn hay un múltiplo de nnn que tiene solo 0s0s0s y 1s1s1s en su expansión decimal. [duplicar]

Question

Muestre que para cada entero nnn hay un múltiplo de nnn que tiene solo 0s0s0s y 1s1s1s en su expansión decimal. [duplicar]

Matemáticas
prueba-explicación
principio del casillero
teoría-de-números-elemental

Fuego azul

¿Alguien puede explicar este ejemplo ya que traté mucho de entenderlo pero no puedo?

El problema:

Muestre que para cada entero n hay un múltiplo de n que tiene solo 0 y 1 en su expansión decimal.

La solución del libro:

Dejar $n$ ser un entero positivo. Considera el $n + 1$ enteros $1, 11,$ $111, ..., 1111, ...$ (donde el último entero de esta lista es el entero con $n + 1$ $\ 1s$ en su expansión decimal). Tenga en cuenta que hay $n$ restos posibles cuando un número entero se divide por $n$ . Porque hay $n + 1$ números enteros en esta lista, por el principio del casillero debe haber dos con el mismo resto cuando se divide por $n$ . El mayor de estos enteros menos el menor es un múltiplo de $n$ , que tiene una expansión decimal que consiste enteramente en $0s$ y $1s$ .

Este problema de Matemáticas Discretas y su aplicación para Rosen

lulú

¿Qué pasa con esa solución que encuentras confusa? Debería decir que esta pregunta se ha hecho muchas veces en este sitio, aquí , por ejemplo.

lulú

Sugiero trabajar un ejemplo. Intentar

n = 6

$n=6$ y considerar el

7

$7$ números

1, 11, 111, 1111, 11111, 11111, 1111111

$1,11,111,1111,11111,11111,1111111$ .

marcavs

5

$5$ es demasiado fácil 10 es el primer número que te viene a la mente. Prueba

n = 7

$n=7$ y 8 numeros

1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111

$1, 11, 111, 1111, 11111,111111,1111111$ .

marcavs

6 es tan fácil como 3. Dado que

111

$111$ es divisible por 3,

1110

$1110$ es divisible por 6

Enrique

@JCAA

6

$6$ no es tan fácil como

3

$3$ como nunca te queda un resto de

0

$0$ antes de hacer la resta

marcavs

@Henry: Lo he explicado anteriormente. En general,

a

$a$ es tan fácil como

2 a

$2a$ o

5 a

$5a$ o cualquier

2^{k} 5^{m} a

$2^k5^ma$ .

sangre de pulga

Das una pregunta. Y luego das una respuesta . Entonces, ¿cuál es tu pregunta real?

Fuego azul

@fleablood mi pregunta real? .. en la primera línea! Dije: "¿Alguien puede explicar este ejemplo, ya que traté mucho de entenderlo pero no puedo?"

sangre de pulga

Si el libro no pudo explicarlo, ¿por qué crees que nosotros podemos? El libro tiene mucho sentido para nosotros. Para que lo expliquemos de otra manera tenemos que entender por qué no entiendes el libro.

sangre de pulga

"... en la primera línea! Dije: "¿Alguien puede explicar este ejemplo, ya que traté mucho de entenderlo pero no puedo?" Esa no es una pregunta legítima, ya que no pregunta nada específico. Tienes una explicación . Si no entiende la explicación, es su responsabilidad señalar lo que no entiende y hacer una pregunta específica para aclararlo.

Respuestas (3)

Muestre que para cada entero nnn hay un múltiplo de nnn que tiene solo 0s0s0s y 1s1s1s en su expansión decimal. [duplicar]

¿Qué pasa con esa solución que encuentras confusa? Debería decir que esta pregunta se ha hecho muchas veces en este sitio, aquí , por ejemplo.
Sugiero trabajar un ejemplo. Intentar $n=6$ y considerar el $7$ números $1,11,111,1111,11111,11111,1111111$ .
$5$ es demasiado fácil 10 es el primer número que te viene a la mente. Prueba $n=7$ y 8 numeros $1, 11, 111, 1111, 11111,111111,1111111$ .
6 es tan fácil como 3. Dado que $111$ es divisible por 3, $1110$ es divisible por 6
@JCAA $6$ no es tan fácil como $3$ como nunca te queda un resto de $0$ antes de hacer la resta
@Henry: Lo he explicado anteriormente. En general, $a$ es tan fácil como $2a$ o $5a$ o cualquier $2^k5^ma$ .
Das una pregunta. Y luego das una respuesta . Entonces, ¿cuál es tu pregunta real?
@fleablood mi pregunta real? .. en la primera línea! Dije: "¿Alguien puede explicar este ejemplo, ya que traté mucho de entenderlo pero no puedo?"
Si el libro no pudo explicarlo, ¿por qué crees que nosotros podemos? El libro tiene mucho sentido para nosotros. Para que lo expliquemos de otra manera tenemos que entender por qué no entiendes el libro.
"... en la primera línea! Dije: "¿Alguien puede explicar este ejemplo, ya que traté mucho de entenderlo pero no puedo?" Esa no es una pregunta legítima, ya que no pregunta nada específico. Tienes una explicación . Si no entiende la explicación, es su responsabilidad señalar lo que no entiende y hacer una pregunta específica para aclararlo.

jose carlos santos · Answer 1

Supongamos, digamos, que $n=3$ . Considere los cuatro números $1$ , $11$ , $111$ , y $1\,111$ . ¿Cuáles son los restos de la división de estos números por $3$ ? Ellos son $1$ , $2$ , $0$ , y $1$ respectivamente. El resto $1$ aparece dos veces (correspondiente a los números $1$ y $1\,111$ ). Entonces, $1\,111-1(=1\,110)$ es múltiplo de $3$ .

La misma idea funciona con cada $n$ .

Ya tienes recordatorio $0$ . ¿Cuál es el propósito del resto?
Ese argumento es el mismo que en OP. No introdujiste nada nuevo.
@JCAA Eso es bueno, ya que no tenía ninguna intención de presentar algo nuevo. Mi intención era explicar la prueba. Y, dado que el OP aceptó mi respuesta, ese objetivo se logró.
Gracias profesor. Su solución es 100% clara, ¡pero realmente no entiendo la pregunta! ¿Puede por favor reformularlo en sus propias palabras?
@Avra El problema es probar que, para cualquier número entero $n$ , hay un número natural $k$ tal que la expansión decimal de $n\times k$ consiste solo en $0$ 'arena $1$ 's.
¿Es esta prueba por contradicción, directa o contrapositiva, por favor?
@JoséCarlosSantos. Gracias. Muy rapido. Entonces, por prueba directa, es legítimo agregar 1 número para tener $n+1$ aunque la pregunta dice que tenemos $n$ números como la solución anterior en la pregunta dice " Considere el $n+1$ números enteros".
@Avra No pude encontrar la expresión " $n$ números” en cualquier parte de la pregunta.
@JoséCarlosSantos. Bien. Entonces, por último, por favor, ¿por qué asumimos $n+1$ enteros de todos $1s$ ¿Por ejemplo?

sangre de pulga · Answer 2

Revisaré la solución de libros para $n=12$ . Esto debería convencerte en general.

Considera el $13$ números $1; 11;111;1111;11111;111111;1111111;11111111;111111111;1111111111;11111111111;111111111111;1111111111111;$

Hay trece números. Cada uno tiene un resto cuando se divide por $12$ . Solo hay doce de esos restos, por lo que al menos dos de ellos deben ser iguales.

Los restos son:

$1;11;3; 7;11;3;7;11;3;7;11;3;7$ .

Muchos de ellos son iguales. Por ejemplo $1111$ tiene resto $7$ . Entonces $1111 = 12k + 7$ para algunos $k$ (como resulta $1111= 12*92+7$ ) y $1111111$ también tiene resto $7$ . Entonces $1111111 = 12j + 7$ para algunos $j$ (como resulta $1111111 = 12*92592 + 7$ ).

Entonces eso significa $1110000=11111111 -1111 = (12*j + 7)-(12k +7) = 12j -12k = 12(j-k)$ y es múltiplo de $12$ .

En este caso $1110000 =1111111-1111 = (12*92592 + 7)-(12*92 + 7) = 12(92592-92) = 12(92500)$

En realidad, podríamos haber hecho esto en el primer resto repetido.

$11$ y $11111$ ambos tienen resto $11$ . $11= 0*12 + 11$ y $11111 = 12*925 + 11$ . entonces $11111-11 = 11100 = (12*925+11) -(0*12+11) = 12(925-0) = 12*925$ .

Ans para que podamos seguir agregando $0$ s y multiplicar ser $10$ ....

mas complicado seria $111111111111$ y $111111111$ Ambos tienen $7$ como restos y $111111$ y $111$ tener $3$ como restos. Entonces $111111111111= 12*j+7$ y $111111111=12*k + 7$ y $111111=12*m+3$ y $111=12*n+3$ entonces

$111111111111-111111111+111111-111 = 111000111000 = (12j+7)-(12k+7)+ (12m+3)-(12n+3) = 12(j-k+m-n)$ y de hecho. $\frac {111000111000}{12} = 9250009250$

$12$ es la misma dificultad que $3$ : $111$ es divisible por $3$ , entonces $11100$ es divisible por $12$ (y ya que estamos en eso, $111000$ es divisible por $24$ ).
El caso de 3 ha sido considerado antes. El caso del 6 también. No está claro qué le agrega el caso de 12 (o 24 o 48 o 75). Creo que esta respuesta es incluso peor que la respuesta aceptada. ¿Es eso "cualquier cosa"? Eso depende,
La pregunta era, y solo era, para explicar la respuesta del libro. Lo he hecho trabajando a través de un ejemplo. Eso es todo lo que se pidió, eso fue todo lo que pretendía hacer, y eso es todo lo que se requería. No sé cuál cree que fue la pregunta o cuál cree que debería ser una respuesta, pero parece que no se indica nada más que la pregunta real publicada.
Lo que querías hacer lo ha hecho Jose Carlos Santos una hora antes que tú e incluso antes en los comentarios. Tu explicación es mucho peor que la suya. Por ejemplo, es mucho más largo y está por todas partes, contiene muchas cosas adicionales. "¿Algo más?
@fleablood No agregaste nada nuevo y tu respuesta es simplemente mala peor representación de la misma idea cubierta en los comentarios y la respuesta de Jose Carlos Santos
Gracias. ¿Podría explicar por qué para n=3 tenemos 1,11,111,1111 y para n=4 tenemos 1,11,111,1111,11111, etc.? Realmente no entiendo en qué parte de las preguntas dice eso. Dice para entero $n$ , muestra que hay un múltiplo que tiene 0 y 1 en su expansión decimal. Así que no sé por qué de dónde provienen esos números $n=3$ Por ejemplo ( $1,11,111,1111$ )?
Para $n = 3$ consideramos la primera $n+1 = 4$ números: $1, 11,111,1111$ y considera que los residuos deben repetirse ya que solo tenemos $3$ restos los restos son $1, 2, 0$ y luego repetimos $1$ . Para $n = 4$ considerar el para $n+1=5$ números: $1,11,111,1111,11111$ y considera que los restos deben repetirse ya que solo tenemos $4$ restos y los restos son $1, 3, 3,3,3$ y conseguir que los restos se repitan. ....
Para obtener un número que es divisible por $3$ tomamos dos de los números que tienen el mismo resto cuando se dividen por $3$ . Ex. $1111$ tiene resto $1$ y $1$ tiene resto $1$ y restarlos así $1111 - 1 = 1110$ tendrá resto $0$ y $3|1110$ . Para hacer lo mismo por $4$ podemos tomar dos con resto $3$ . Decir $11111$ y $111$ y $11111-111= 11000$ tendrá resto $0$ y $4|11000$ .
O por el numero $29$ Si consideramos $1, 1_2=11, 1_3=111,1_4 =1111, ...., 1_{30}= \underbrace{111.....1}_{30}$ . Ahora consideramos la $30$ restos $R_1 = 1, R_2=11, R_3= 24$ (el resto de $111\div 23$ es $24$ ... $R_4=9$ etc... hasta $R_{30}$ . Como los hay $30$ semejante $R_k$ y solo $29$ restos posibles dos de ellos $R_k$ y $R_j$ deben ser iguales entre si. (Como resulta $R_1=R_{29}=1$ y $R_2=R_{30}= 11$ ). Los significados $I_k - I_j$ tendrá resto $R_k-R_j = 0$ y $29|I_k - I_j = \underbrace{111.....1}_{k-i}\underbrace{000....0}_j$ .

Vyvy-vi · Answer 3

Aquí hay una forma en que solía explicarme esto a mí mismo: sea n un número entero positivo. Consideremos n+1 números de forma 1, 11, 111, 1111, 1111... donde el último entero de esta lista es un entero con n+1 1s.

Por el principio del casillero, debe haber al menos 2 números en esta lista de n+1 números que tengan el mismo resto cuando se dividen por n.

Sean estos números a y b.

a = 1...1 = Qn + r, donde Q es un número entero y r es un número entero < n

b = 1.....1 - Q'.n + r, donde Q' es un número entero y r es un número entero < n (r es el resto común)

b > un

b - a = 111...11...11 - 11..111 = 111...00..000 = n(Q' - Q) + r - r = n.(Q' - Q)

=> b - a es un múltiplo de n que tiene solo 0 y 1 en su decimal.

Muestre que para cada entero nnn hay un múltiplo de nnn que tiene solo 0s0s0s y 1s1s1s en su expansión decimal. [duplicar]

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