Una demostración no inductiva de una propiedad de los números naturales

Aquí está la pregunta:

Para cada número natural$n$, Pruebalo

$$n(n + 1)(n +2) (n+3)$$ nunca es un cuadrado perfecto.

Mi enfoque : Aquí, notamos que dos de los factores dados en el producto serán impares mientras que los dos restantes serán pares. WLOG, deja$n$se justo. Si$n=2k$por algún entero$k$entonces

$$n+2=2k+2=2(k+1).....(1)$$ . Así, conseguimos que$n(n+2)=4(k+1)k$dónde$k$y$k+1$no puede tener ningún factor común.
Si dos cuotas consecutivas$n+1$y$n+3$tener un factor común$x$entonces,
$$n+3-(n+1)=2=x(k_1-k_2)$$ dónde$n+3=k_1x$y$n+1=k_2x$. Pero entonces$x=1$es el único valor posible. Así, obtenemos que su mcd es 1. Ya que ahora vemos que no puede haber doble repetición de los factores primos excepto la de$4$en:
$$n(n + 1)(n +2) (n+3)=4(k+1)k(n+3)(n+1)......(2)$$ ya que los consecutivos no pueden aportar un factor común y
los números que tienen el mismo tipo de divisibilidad por$2$no puede tener factores comunes distintos de$2$(para el caso par). Entonces, obtenemos que el producto nunca es un cuadrado perfecto. (Vemos que los pasos (2) y (1) son invertibles si$n$es impar.
Es un poco tosco y no estoy seguro de si es correcto. Por favor, ayúdenme a verificar esto y corregir la prueba. Quiero ver los defectos de mi prueba.