La siguiente prueba es de Introducción a las Matemáticas (Devlin). No estoy tratando de refutar a Devlin o Euclid. Estoy tratando de entender si las preguntas que hace mi mente son injustificadas y por qué.
Enunciado: Hay infinitos números primos.
(Prueba: Primera parte) "La verdad de esta afirmación puede probarse mediante un ingenioso argumento conocido por Euclides.1 La idea es mostrar que si enumeramos los números primos en orden creciente como entonces la lista debe continuar para siempre. (Los primeros miembros de la secuencia son: , y así sucesivamente.) Considere la lista hasta cierto punto : El objetivo es mostrar que hay otro número primo que se puede agregar a la lista. Siempre que hagamos esto sin asignar un valor específico, esto implicará de inmediato que la lista es infinita.
Dejar sea el número que obtenemos cuando multiplicamos todos los primos que hemos enumerado hasta ahora y luego sumamos , es decir, Obviamente, es más grande que todos los números primos de nuestra lista, así que si es primo, sabemos que hay un primo mayor que , y por lo tanto la lista puede continuar. (No estamos diciendo que es el próximo primo. De hecho, será mucho más grande que , por lo que es poco probable que sea el próximo primo.)"
P1) ¿Por qué la prueba es legítima? Esta prueba se emplea sólo en . ¿Cómo, sin calcular una respuesta para CADA , ¿se puede suponer que la prueba seguirá siendo cierta?
P2) ¿Qué tal si ?
P3) ¿Cómo se puede decir “por lo tanto, la lista puede continuar”?
Q1 es la clave. No se trata solo de los primeros cinco números primos. Está diciendo que supones que alguien dice que tiene una lista finita que contiene todos los números primos. Quiere demostrar que están equivocados mostrando que hay al menos un número primo que no está en su lista. Tomas todos los números primos de la lista, los multiplicas y sumas uno. Eso es el aquí. Ninguno de los números primos de la lista puede dividir , porque todos tendrán un resto cuando haces la división. Por lo tanto, o bien es primo (y no está en la lista) o (y su resumen omitió esta parte) es divisible por al menos un primo, que no está en la lista. En cualquier caso, hay un número primo que no está en la lista. Si su adversario agrega este número primo a la lista, repite el cálculo, encontrando y otro primo que no está en la lista. Esto demuestra que cualquier lista finita no puede contener todos los números primos.
Q2. pInfinity no tiene sentido, por lo que no podemos calcular esto . La multiplicación solo se define con un número finito de factores. Podemos calcular límites de productos finitos que tienen más y más términos cuando existe el límite, pero podemos calcular productos infinitos de números mayores que divergir.
El escrito de Devlin transmite la idea de una prueba (de infinidad de números primos) de una manera que refleja las limitaciones de lo que se encuentra en Euclides.
A saber, Euclides estaba escribiendo mucho antes de que se articulara un principio de "prueba por inducción". Entonces, desde una perspectiva moderna, se critica ese original por ser simplemente un ejemplo y no un tratamiento riguroso "para todos". ".
Sin embargo, la idea de la demostración es tan clara en Euclides que constituye un ejercicio muy razonable para que los estudiantes suplan esa falta de rigor.
Esta es una "prueba indirecta" o "prueba por contradicción". Si hubiera un número finito de números primos, por ejemplo, , , ..., entonces podríamos multiplicarlos todos juntos y sumar 1: . que no es divisible por ninguno de , ,... ya que dividir por cada uno deja un resto de 1. Por lo tanto, o es primo o es divisible por algún primo no incluido en esa lista. De cualquier manera, llegamos a una contradicción con la hipótesis de que , , ... son los únicos primos. Una declaración verdadera no puede llevar a que una declaración se contradiga a sí misma, por lo que la declaración original debe ser falsa.
dxiv
if N is prime, we know there is a prime bigger than pn, and hence the list can be continuedDebe haber unaelseparte de eso más adelante. Por favor, cite lo suficiente de la prueba de que la pregunta tiene sentido.celtschk
p1 = 2(dando "p1 = 2") escribe$p_1 = 2$(dando\inftydacarl mummert