Obtención de la ecuación de Euler-Lagrange a partir de la acción con restricción: el modelo sigma topológico de Witten

La acción del modelo sigma topológico de Witten (definido en una hoja mundial, Σ , con el espacio objetivo como una variedad casi compleja denotada X ) toma la forma

(2.14) S = ∫ d 2 σ ( − 1 4 H α i H α i + H i α ∂ α tu i + … ) ,
como se muestra en la ecuación 2.14 de su artículo. Los campos auxiliares H α i también obedecen la restricción de "auto-dualidad"
(2.5) H α i = ε α β j i j H β j ,
dónde ε y j son respectivamente las estructuras casi complejas de Σ y X .

Ahora, la ecuación de Euler-Lagrange para H α i se da en la ecuación 2.15 como

(2.15) H α i = ∂ α tu i + ε α β j i j ∂ β tu j .
¿Cómo se muestra esto? He intentado incluir la restricción de "autodualidad" en la acción a través de los multiplicadores de Lagrange, pero no he podido obtener la ecuación de Euler-Lagrange correcta de esta manera.

Respuestas (2)

Aquí hay un método, quizás no el más corto, pero al menos es consistente y, con suerte, transparente.

  1. Antes de comenzar, introduzcamos una notación de matriz con suerte obvia

    j i j ⟶ j
    ε α β ⟶ ε
    tu i , α ⟶ tu ,
    H α i ⟶ H
    (A) H i α ⟶ H
    etc, por simplicidad de notación. (Las últimas dos líneas en la ecuación (A) pueden parecer ambiguas, pero en la práctica uno puede diferenciarlas del contexto).

  2. Escriba el campo tensorial de Witten

    (B) H   :=   1 2 ( H ~ − ε H ~ j )
    en términos de un campo tensorial sin restricciones H ~ con el mismo tipo de índices. (El quizás sorprendente signo menos en la ecuación (B) tiene que ver con el orden de las matrices).

  3. Es fácil comprobar que la definición (B) es manifiestamente autodual

    (2.5) H   =   − ε H j ,
    mediante el uso
    (C) j 2   =   − 1 , ε 2   =   − 1 .

  4. La densidad lagrangiana se convierte en

    (2.14) L   :=   t r ( − 1 4 H 2 + H tu , ) + …   = ( B )   1 2 t r ( − 1 4 H ~ 2 + 1 4 ε H ~ j H ~ + ( H ~ − ε H ~ j ) tu , ) + … .

  5. Varíe la densidad lagrangiana (2.14) wrt. el campo tensorial no restringido:

    (D) 0   ≈   d L   = ( 2.14 )   1 2 t r { ( − 1 2 ( H ~ − j H ~ ε ) + ( tu , − j tu , ε ) ) d H ~ } .
    En otras palabras,
    (2.15) H   = ( B )   1 2 ( H ~ − j H ~ ε )   ≈ ( D )   tu , − j tu , ε
    que es la ecuación buscada por OP. (Aquí el ≈ símbolo significa igualdad módulo eoms.)

No entiendo por qué la igualdad debería tener módulos eoms. ¿No estamos derivando una ecuación de movimiento?
Entonces lo que quisiste decir es que ≈ se usa porque la ecuación (2.15) es una ecuación de movimiento, ¿verdad?
↑ Sí.
Qmecanico, algo no me queda claro. En el nivel clásico, su derivación funciona perfectamente. Pero, ¿qué pasa con las integrales de trayectoria, que son la principal preocupación de Witten (la ecuación (2.15) conduce a la localización de las integrales de trayectoria en el espacio de módulos de aplicaciones holomorfas)? Por el cambio de variables (B), debería haber un cambio correspondiente en la medida de la integral de trayectoria, capturada por un jacobiano j . Para implementar su derivación, det j debe ser constante, o al menos H ~ -independiente (de lo contrario no tendremos una integral de Gauss sobre H ~ ), pero no puedo mostrarlo. ¿Podrías aclarar esto?

¿No es el truco a tomar?

(2.5) H α i = ε α β j i j H β j ,
y nota
H α i = 1 2 ( H α i + ε α β j i j H β j )
luego conecte esto a la acción para reescribirlo como
S = ∫ d 2 σ ( − 1 4 H α i H α i + 1 2 d i k ( H α i + ε α β j i j H β j ) ∂ α tu k + … ) ,
donde estoy usando el hecho de que la contracción sobre índices latinos se realiza usando la "métrica Worldsheet" que es (por invariancia conforme) igual a d i j .

¿Una descomposición diferente (en lugar de la dada en su segunda ecuación) no conduciría a una ecuación de Euler-Lagrange diferente? ej., en lugar de H α i = 1 2 ( H α i + H α i ) uno podría usar H α i = 1 3 ( H α i ) + 2 3 ( H α i ) . Entonces, reemplazando (2.5) en el coeficiente de 2 3 nos dará una expresión diferente de la segunda ecuación en su respuesta. Creo que esto conducirá a una ecuación de Euler-Lagrange diferente.
Además, los índices latinos son índices de espacio objetivo, los índices griegos son índices de hoja mundial.
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