¿Qué es un campo no lineal?

Un campo no lineal o una teoría no lineal es, bueno, un campo o una teoría que no es lineal. Hay dos obstrucciones para que algo sea lineal: se dice que una ecuación es lineal si, siempre que$\phi$y$\psi$son soluciones de la ecuación y$a,b$son escalares constantes, también lo es$a\phi + b\psi$. Entonces, para que la definición tenga sentido, necesita (a) una forma de ¨sumar dos soluciones¨ y (b) la declaración de que la ¨suma de dos soluciones reescaladas es nuevamente una solución¨.

1. Una teoría/campo puede fallar en ser lineal sobre la base de que no se pueden agregar soluciones. Este es, por ejemplo, el caso en no lineal$\sigma$-modelos donde el campo toma valores en una variedad. A diferencia del caso de campos con valores reales o complejos, o en campos un poco más generales que toman valores en espacios vectoriales, no existe una forma natural de definir la suma de dos puntos en una variedad. En otras palabras, la teoría es no lineal en virtud del hecho de que no podemos dar sentido a la expresión$\phi(x) + \psi(x)$.

2. Cuando un campo en sí mismo admite una noción de suma, la teoría aún puede fallar en ser lineal cuando las ecuaciones de los movimientos son no lineales. Este es, por ejemplo, el caso de las ¨ecuaciones no lineales de Klein-Gordon¨. El campo en sí todavía toma valor en los números complejos. Pero ya no se garantiza que la suma de dos soluciones sea una nueva solución.

En otras palabras, en el primer caso ni siquiera podemos definir significativamente las superposiciones; en el segundo caso se pueden definir las superposiciones, pero ya no se puede utilizar el principio de superposición para la descomposición de soluciones.

La distinción trazada es principalmente epistemológica. A efectos prácticos, no tiene mucho sentido distinguir entre los dos: la diferencia entre los dos casos es mínima en comparación con su diferencia con las teorías lineales .

Te refieres a un "modelo sigma no lineal", que es un campo que toma valor en una variedad. Supongo que algunas personas lo llaman un "campo no lineal". El uso más común es "Un campo cuya ecuación no es lineal".

Primero, ¿cuál es la diferencia entre los procesos físicos lineales y no lineales? Si la desviación de un sistema de un equilibrio es pequeña, entonces se dice que el sistema es lineal. Formalmente, en este caso, el sistema se describe mediante una ecuación lineal. Un ejemplo simple de un sistema lineal es un péndulo que realiza pequeñas oscilaciones cerca de la posición de equilibrio (vertical).

Otra definición de un sistema lineal es que es un sistema que "responde" linealmente a una perturbación externa. "Respuesta lineal" significa que la reacción del sistema (señal) es proporcional a la fuerza de la perturbación. Ejemplos usuales son la ley de Hooke F= k*X y la ley de Ohm U= R*I, donde k y R no dependen de X e I, respectivamente.

Ahora, si la desviación de un sistema de un equilibrio es grande, entonces el sistema (o un proceso) es no lineal. Por ejemplo, la oscilación de un péndulo con una gran desviación (>~30 grados) es un proceso no lineal. Vista alternativa, si los parámetros de un sistema dependen de la preturbación, entonces la respuesta del sistema es no lineal. En los ejemplos anteriores, si el coeficiente de elasticidad k depende de X, o la resistencia R de I, entonces el sistema es no lineal.

Podemos decir que todos los procesos en la naturaleza son no lineales. Sin embargo, si la desviación es pequeña, el proceso puede considerarse (tratado matemáticamente) como lineal. Esto es solo un reflejo del simple hecho de que cualquier función$f(x)$se puede representar como una función lineal si$x$es pequeño,$f(x) \approx f(0)+f'(0) x$.

"Campo" se usa cuando describe un sistema extendido, y la desviación del equilibrio es diferente en diferentes puntos del sistema. Los ejemplos habituales son una cuerda oscilante, un campo electromagnético, etc.

Finalmente, si considera un sistema extendido con una gran desviación del equilibrio, necesita usar la teoría de campo no lineal.