Observables del modelo de Ising

Question

Observables del modelo de Ising

Física
modelo-ising
física computacional
mecánica estadística

abdul

¿Hay alguna fórmula o ecuación que relacione $\langle E\rangle$ y $\langle M\rangle$ (giro promedio por sitio) y $\langle E^2\rangle$ a la temperatura $T$ para el modelo de Ising de celosía cuadrada con campo magnético cero? He hecho algunas simulaciones y sé cómo se supone que se ven los gráficos aproximadamente, pero ¿hay alguna expresión clara para ellos?

¿Y se sabe cuáles son las funciones exactas para tamaños de cuadrícula finitos?

Trimok

Al final de Square-lattice_Ising_model , tiene el valor de la energía libre, la energía interna y la magnetización, en el límite

N \to + \infty

$N \rightarrow +\infty$

Trimok

Las definiciones de energía interna y energía libre son definiciones termodinámicas generales, de la función de partición. Supongo, en tu caso, que tu

< E >

$<E>$ corresponde a la energía interna. La energía interna es la energía total contenida por un sistema termodinámico. (Gibbs) la energía libre mide el trabajo que se puede obtener de un sistema termodinámico.

abdul

¿Cuál es la definición de energía libre y energía interna para la red cuadrada? My Energy es el producto de su giro y la suma de sus cuatro giros vecinos.

Trimok

La magnetización en

T > T c

$T>Tc$ debe ser cero. Tienes que ir al principio del artículo de Wikipedia - Definición del modelo - para ver las variables utilizadas

K, L, J, J *

$K,L,J,J*$ .

Respuestas (2)

Observables del modelo de Ising

Al final de Square-lattice_Ising_model , tiene el valor de la energía libre, la energía interna y la magnetización, en el límite $N \rightarrow +\infty$
Las definiciones de energía interna y energía libre son definiciones termodinámicas generales, de la función de partición. Supongo, en tu caso, que tu $<E>$ corresponde a la energía interna. La energía interna es la energía total contenida por un sistema termodinámico. (Gibbs) la energía libre mide el trabajo que se puede obtener de un sistema termodinámico.
¿Cuál es la definición de energía libre y energía interna para la red cuadrada? My Energy es el producto de su giro y la suma de sus cuatro giros vecinos.
La magnetización en $T>Tc$ debe ser cero. Tienes que ir al principio del artículo de Wikipedia - Definición del modelo - para ver las variables utilizadas $K,L,J,J*$ .

jgyou · Answer 1

Onsager calculó la función de partición del modelo de Ising de celosía cuadrada periódica 2D (límites toroidales). Podría decirse que es una de las pruebas más elegantes de la mecánica estadística moderna.

El documento original está disponible en el sitio web de APS a continuación: (necesitará acceso institucional)

L. Onsager, " Estadísticas de cristal. I. Un modelo bidimensional con una transición de orden-desorden ", Phys. Rev. (65), 1944. Enlace

Aunque lo encontré tirado en algún servidor universitario: http://www.colorado.edu/physics/phys7230/phys7230_sp08/Onsager1944.pdf

En esencia, obtiene la función de partición.

Z (β, norte, H = 0) = (2 aporrear (2 β j) {mi}^{I})^{norte}

$Z(\beta,N,H=0)=(2\cosh(2\beta J) e^I)^N$ con

I = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ϕ en (\frac{1}{2} [1 + (1 - k^{2} {pecado}^{2} ϕ)^{1 / 2}])

$I=\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi d\phi\ln\left(\frac{1}{2}\left[1+(1-\kappa^2\sin^2\phi)^{1/2}\right]\right)$ dónde

k = \frac{2 pecado (2 β j)}{{aporrear}^{2} (2 β j)}

$\kappa=\frac{2\sinh(2\beta J)}{\cosh^2(2\beta J)}$

Las técnicas tradicionales de conjuntos canónicos se pueden aplicar desde allí. Tenga en cuenta que la energía libre asociada a $Z(\beta,N,0)$ no es analítico y que surge una transición de fase cuando $\kappa=1$ . Esto predice correctamente que $T_c=\frac{2J}{k\ln(1+\sqrt{2})}$

Roberto Rüger · Answer 2

Sí, estas ecuaciones existen y se pueden derivar de la función de partición en la respuesta de JGab.

La energía interna por espín es:

tu (β) = - \frac{\partial}{\partial β} (en (2) + \frac{1}{8 π^{2}} \int_{0}^{2 π} d q_{1} \int_{0}^{2 π} d q_{2} en [(1 - pecado (2 β j))^{2} + pecado (2 β j) (2 - porque q_{1} - porque q_{2})])

$u(\beta) = - \frac{\partial}{\partial \beta} \left( \ln(2) + \frac{1}{8 \pi^2} \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d} q_1 \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d} q_2 \\\ln \left[ \big( 1 - \sinh(2 \beta J) \big)^2 + \sinh(2 \beta J) \left( 2 - \cos q_1 - \cos q_2 \right) \right] \right)$

La magnetización espontánea por espín es:

{metro}_{s} (T) = {\begin{cases} {(1 - {pecado}^{- 4} (2 β j))}^{\frac{1}{8}} & para T < T_{C} \\ 0 & para T \geq T_{C} \end{cases}

$m_s(T) = \begin{cases} \left( 1 - \sinh^{-4} (2 \beta J) \right)^{\frac{1}{8}} & \text{for } T < T_c \\ \hskip 1.5cm 0 & \text{for } T \geq T_c \end{cases}$ Tenga en cuenta que esto no es estrictamente hablando la magnetización

⟨ m ⟩

$\langle m \rangle$ Tú pediste, pero su límite

{metro}_{s} = \underset{B \to 0^{+}}{límite} \underset{norte \to \infty}{límite} ⟨ metro ⟩

$m_s = \lim_{B \rightarrow 0^+} \lim_{N \rightarrow \infty} \langle m \rangle$ donde los dos límites no se conmutan. Vea esta pregunta para una discusión de este punto importante.

Para completar esta excelente respuesta, tenga en cuenta que $\langle m\rangle = 0$ para $B=0$ , debido a la simetría de signos. Entonces uno necesita introducir un campo externo $B$ para obtener una respuesta distinta de cero, lo que explica por qué el límite $B\rightarrow 0^+$ se toma aquí,

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Trimok

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jgyou

Roberto Rüger

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