La interpretación de$s^2$es bastante sencillo: dados dos puntos o eventos en el espacio-tiempo, es una forma invariante de coordenadas de atribuir una distancia, en el sentido determinado por la métrica de Minkowski, entre los dos. En las fórmulas que anotaste, uno de los dos puntos se toma como origen. En el caso general tenemos

$$s^2_{1,2}=(\vec x_1-\vec x_2)^2-c^2(t_1-t_2)^2$$

Esto es exactamente análogo al caso euclidiano más intuitivo donde la firma de la métrica es puramente positiva. La palabra "intervalo" es más o menos sinónimo de "distancia entre cosas", por lo que es bastante natural llamar a la distancia entre dos puntos (o eventos) del espacio-tiempo el intervalo entre ellos.

Diferentes tipos de separación.

Para hacer más explícita la interpretación geométrica, hay que trabajar con la noción de cono de luz . Esta construcción se describe en cualquier texto sobre relatividad especial, por lo que si no está satisfecho después de leer esta respuesta, le sugiero que eche un vistazo a la literatura sobre el tema.

Ahora, comencemos: Si arreglamos un punto específico$x$, podemos clasificar todos los otros puntos en el espacio de Minkowski, como sigue: Para cualquier$y\in M$, examinamos$s^2_{x,y}$y mira su signo. De esta forma, obtenemos tres tipos diferentes de puntos; cada punto en el espacio de Minkowski se encuentra en uno de los siguientes conjuntos:

$$T=\{y\in M \mid s^2_{x,y}<0\}\qquad S=\{y\in M \mid s^2_{x,y}>0\}\qquad L=\{y\in M \mid s^2_{x,y}=0\}$$

Nosotros decimos eso$y$es temporal separado de$x$si es un elemento del primer conjunto, como un espacio separado de$x$si es un elemento$S$, y el tercer conjunto es el de puntos separados parecidos a la luz (con respecto a$x$).

Para comprender estas convenciones de nomenclatura, primero observamos que los rayos de luz siempre viajan a una velocidad$v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=c$, de modo que cualquier trayectoria recorrida por un rayo de luz satisface$\vec x^2=c^2t^2$. Como consecuencia,$s^2=0$a lo largo de las trayectorias recorridas por la luz. Esto explica el último de los tres nombres. En segundo lugar, siempre que$\Delta x_{1,2}^2 := (\vec x_1-\vec x_2)^2$Es mas grande que$c^2 \Delta t_{1,2}^2$, vemos eso$s_{1,2}^2>0$, por lo que tiene sentido llamar a tales puntos separados como espacios. Una línea de argumentación similar justifica el nombre "separados en el tiempo".

También me gustaría señalar que, aunque no lo demostraré aquí, los términos separación espacial y temporal se justifican aún más por el hecho de que no existe un marco de referencia (inercial) donde dos eventos temporales separados sean simultáneos, mientras que existe no hay marco de referencia donde dos eventos separados similares al espacio ocurren en el mismo lugar, por lo tanto, tales puntos están realmente separados en el tiempo y el espacio, respectivamente. Estas afirmaciones se derivan directamente de las leyes de transformación de Lorentz.

El diagrama del cono de luz

Ahora, ¿cuál es la geometría detrás de toda esta configuración? Está bellamente demostrado, por ejemplo, en esta imagen de Wikipedia:

Aquí, el punto$x$se denota por "observador" y se toma como origen. El conjunto$L$está representado por el cono azul/verde (doble) que se origina en el origen. El conjunto$T$es el conjunto de todos los puntos dentro del (de los) cono(s) de luz, tanto futuros como pasados, mientras que el conjunto$S$describe todos los puntos fuera del cono.

Causalidad

Finalmente, remarcamos que la noción de cono de luz está íntimamente relacionada con la noción de causalidad : Dado que el cono de luz representa la distancia máxima que la luz podría haber viajado desde$x$(en la parte futura ) o la distancia máxima desde la que la luz podría haber llegado a alcanzar$x$en el momento del tiempo que hemos elegido como el$t=0$plano, en realidad te dice que nada fuera del cono de luz puede estar en contacto causal con$x$. Es decir, los eventos pasados ​​que ocurrieron fuera del cono de luz pasado no pueden haber influido en el evento.$x$, y el evento$x$en sí mismo no puede influir en ningún evento futuro que se encuentre fuera del futuro cono de luz.

Sí, hay una interpretación geométrica.

En primer lugar, tenga en cuenta que puede hacer un rectángulo cuyos lados sean rayos de luz y que tenga los dos eventos en las esquinas opuestas.

Para ver eso, si están separados en el tiempo, dispara un rayo de luz desde el primero al último y llegas a ese lugar demasiado pronto, así que déjalo continuar hasta que llegue a un evento donde un rayo de luz en dirección opuesta puede llegar. el evento posterior. Eso es dos lados. Para el siguiente lado, comience en la dirección opuesta y cambie a la primera dirección cuando finalmente haya esperado lo suficiente. En el marco en el que estaban en el mismo lugar y con una diferencia de tiempo T, enviaste rayos en dos direcciones opuestas para viajar$D=cT/2$y luego simultáneamente rebotar y volver.

Para eventos separados similares al espacio, en el cuadro donde son simultáneos, haga que el punto medio envíe un haz en las dos direcciones opuestas para rebotar en los dos eventos y regresar.

Incluso puede pensar en él como un rectángulo común que tiene dos eventos separados de forma espacial en dos vértices y dos eventos separados de forma temporal en los otros dos.

La separación es igual a dos veces el área de ese rectángulo que tenía los rayos como lados. Y, por supuesto, el área está físicamente relacionada con las lecturas del reloj en un tiempo de radar o una medición de distancia de radar. Todo esto sería cierto en la relatividad galileana, pero en la relatividad especial esta área es la misma para dos observadores inerciales cualesquiera. La invariancia proviene del hecho de que dos marcos móviles inerciales literalmente se ven corriendo a la misma velocidad literal. Citaré a Mermin ya que recibí la descripción de los rectángulos de luz de Mermin.

Dos observadores inerciales en movimiento relativo deben ver el reloj del otro funcionando a la misma velocidad. La representación de esta simetría del efecto Doppler en un diagrama bidimensional de espacio-tiempo revela un hecho geométrico importante: el intervalo al cuadrado entre dos eventos es proporcional al área del rectángulo de líneas de fotones con los eventos en vértices diagonalmente opuestos.

"Intervalos de espacio-tiempo como rectángulos de luz" por N. David Mermin en American Journal of Physics, volumen 66, número 12, páginas 1077-1080 (1998); http://dx.doi.org/10.1119/1.19047

Mi respuesta empujará inadvertidamente dos prejuicios religiosos míos sobre ti: que$w = ct$y que la convención adecuada para el intervalo es$ds^2 = dw^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.$Lo siento de antemano.

Antecedentes comunes

En relatividad, decimos que un vector 3D puede emparejarse con un escalar como un vector de cuatro si se transforman de acuerdo con el impulso de Lorentz al cambiar a un nuevo sistema de coordenadas inerciales que se mueven con velocidad.$\vec v$en relación con el antiguo. El impulso de Lorentz por$\vec \beta = \vec v/c$(con$\gamma = 1/\sqrt{1 - \vec\beta\cdot\vec\beta}~$) es una transformada en 4 vectores

$$(\alpha,\; \vec a) ~\mapsto~ \left(\gamma~\left[\alpha - \vec \beta \cdot \vec a\right],\; \vec a + \vec\beta~\left[(\gamma - 1)~ \frac{\vec a\cdot\vec\beta}{\vec\beta\cdot\vec\beta} ~-~ \gamma~\alpha\right]\right),$$ que se puede demostrar que preserva el producto interno $(\alpha, \vec a) * (\beta, \vec b) = \alpha~\beta - \vec a \cdot \vec b.$Este producto $(*)$por lo tanto, es muy importante para la teoría de la relatividad y, en particular, nos permite convertir 4-vectores en cantidades que son inmediatamente relevantes para nosotros. El grupo más amplio que queremos se llama "grupo de Poincaré" y es el grupo generado por rotaciones del subespacio espacial, traslaciones 4D, impulsos de Lorentz y cambios de paridad. $(\alpha, \vec a)\mapsto (-\alpha, \pm\vec a);$son todas isometrías del $(*)$producto en el espacio 4D.

Un vector de posición$\vec r = [x, y, z]$se puede emparejar con un tiempo$w$para producir una posición 4 para un "evento repentino", un punto en el espacio-tiempo. Debido a las traslaciones en el grupo de Poincaré, generalmente solo querremos formar productos de 4 vectores$(*)$con diferencias en 4 posiciones (¡4 desplazamientos!), no vectores reales de 4 posiciones.

Conos de luz como burbujas en expansión

Considere un evento tan repentino: dado que nada puede viajar más rápido que la velocidad de la luz, no puede saber que realmente sucedió hasta que la luz del evento lo golpea. Esta luz sale del evento como una burbuja en expansión que se mueve a gran velocidad.$c.$Lo llamaremos una "burbuja de luz", pero el término técnico es un "cono de luz que apunta al futuro". Dando un paso atrás y mirando el universo en cualquier momento único de manera holística: dentro de la burbuja de luz están todos esos puntos en el espacio que "han visto" el evento en algún momento de su pasado; estos puntos en el espacio-tiempo son por lo tanto el "futuro relativista" del evento "si se extiende sobre todos los tiempos".

Del mismo modo, podemos pensar en el cono de luz que apunta hacia el pasado del evento, que es el conjunto de todos los rayos de luz que podrían haber incidido en el punto del evento cuando sucedió: esta es otra "burbuja en expansión", pero expandiéndose en el sentido negativo del tiempo. Los puntos dentro de esta burbuja están en el "pasado relativista" del evento, el evento pudo verlos.

Tal expansión-a-velocidad-$c$burbuja es descrita por las coordenadas

$$(w - w_0)^2 = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2,$$ entonces vemos que el impulso de Lorentz preserva la estructura de estas burbujas de luz, asignando burbujas de luz a otras burbujas de luz, pero posiblemente redimensionándolas en algún momento en relación entre sí o cambiándolas en el espacio. De hecho, hace algo aún más interesante debido a su linealidad: conserva su topología . Dados dos eventos en el espacio-tiempo, una burbuja de luz está "dentro" de la otra (A llegó objetivamente antes que B) y no se intersecan: o ambas "chocarán" eventualmente a medida que se expanden. En el primer caso, hay un marco de referencia que visita el evento A y luego continúa inercialmente para visitar el evento B, por lo que en ese marco ambos suceden "aquí mismo" y, por lo tanto, no están separados espacialmente objetivamente. Sin embargo, dado que nadie puede ir más rápido que $c$, no hay forma de que esta nave espacial salga de la burbuja de luz, por lo que el caso de "colisión" significa que A y B están objetivamente en diferentes lugares : no hay un marco de referencia que los visite inercialmente a ambos.

Sin embargo, el impulso de Lorentz puede cambiar el tamaño de ambas burbujas que chocan para que tengan el mismo tamaño. En este marco de referencia, por lo tanto, ambos eventos fueron simultáneos: los eventos ya no están separados espacialmente objetivamente. Entonces, los eventos pueden estar objetivamente separados por espacio, objetivamente separados por tiempo, o posiblemente "separados por cero" si están en el borde infinitamente delgado entre (una burbuja está "dentro" de la otra pero hacen contacto en un punto todo el tiempo). el tiempo; ningún observador real podría haber estado en ambos; estos están separados objetivamente tanto en el espacio como en el tiempo, pero esas separaciones pueden hacerse arbitrariamente pequeñas).

El intervalo espacio-temporal como tiempo propio, distancia propia entre sucesos.

Todos los movimientos de partículas se describen pasando de un evento a su futuro relativista y, por lo tanto, el desplazamiento en 4$R$entre ellos satisface$R * R > 0.$En el caso especial de que la partícula realice este movimiento inercialmente , tiene un marco de referencia inercial donde estos dos puntos en el espacio-tiempo se describen como$(w_0, \vec 0)$y$(w_1, \vec 0)$y por lo tanto$R * R = (w_1 - w_0)^2.$A esa diferencia horaria la llamamos$w_1 - w_0$el momento adecuado $\tau$entre los dos eventos: es el tiempo medido por las coordenadas que hacen pensar que ambos eventos sucedieron en el mismo lugar. Es el tiempo mínimo entre los dos eventos; debido a la estructura de la transformada de Lorentz, todos los demás marcos de referencia verán que el tiempo se vuelve más grande para preservar$\Delta w^2 - \Delta r^2 = \Delta w^2 (1 - \beta^2) = \tau^2$, por lo que generalmente se ve$\Delta w = \gamma~\tau.$

Si dos eventos están objetivamente separados por espacios, entonces tienen un desplazamiento de 4$R$satisfactorio$R * R < 0.$En este caso,$\ell = \sqrt{-R * R} = |\vec r_1 - \vec r_0|$es la distancia adecuada entre las posiciones de los dos eventos medida por alguien que los vio a ambos como simultáneos; otras personas, en general, verán una distancia mayor entre el lugar donde ocurrieron estos dos eventos.

("Más grande" puede sonar extraño si está acostumbrado a la contracción de longitud, pero también puede derivar la contracción de longitud de la transformada de Lorentz. Involucra las dos líneas de tiempo$(w, \vec 0)$y$(w, x~\hat \beta)$dónde$\hat \beta$es un vector unitario en la dirección que estamos a punto de impulsar. Esto se convierte en las líneas inclinadas$(\gamma~w, -\gamma~\vec\beta~w)$y$(\gamma (w - \beta~x),\;\hat \beta~[\gamma~x - \gamma~\beta~w]);$obligar a ambos a tener un componente de tiempo 0 significa que el primero es$(0, 0)$mientras que el segundo es$(0,\hat\beta~\gamma~x[1 - \beta^2]) = (0, \hat\beta~x/\gamma).$La discrepancia clave a notar aquí es que en el caso de la contracción de la longitud estamos hablando de las distancias entre dos cosas "al mismo tiempo", mientras que cuando aumentamos la "distancia adecuada" anterior, los eventos ocurren repentinamente en dos momentos diferentes. .)

En el espacio euclidiano, el invariante$s^2=x^2+y^2+z^2$es igual a los cuadrados de longitud del vector de posición$r$.

" Longitud ", o "distancia entre puntos", es una noción independiente de coordenadas (invariante). En el espacio euclidiano tridimensional, los puntos son planos entre sí; eso significa: considerando cinco puntos cualesquiera,$\mathsf A$,$\mathsf B$,$\mathsf J$,$\mathsf K$,$\mathsf Q$, y dados los diez valores de distancia por pares entre ellos,$d[~\mathsf A, \mathsf B~]$,$d[~\mathsf A, \mathsf J~]$...,$d[~\mathsf K, \mathsf Q~]$, entonces su determinante de Cayley-Menger (normalizado) desaparece:

0 =$\begin{array}{|cccccc|} 0 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf A, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf B, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf J, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & \left(\frac{d[~\mathsf K, \mathsf Q~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 1 & \\ \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf A~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf B~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf J~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & \left(\frac{d[~\mathsf Q, \mathsf K~]}{d[~\mathsf A, \mathsf B~]}\right)^2 & 0 & 1 & \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & \end{array}$.

Si tuplas coordinadas$\{ x, y, z \} \in \mathbf R^3$se asignan a todos los puntos de este espacio tal que para dos puntos cualesquiera,$\mathsf A$y$\mathsf B$

$$s^2[~\mathsf A, \mathsf B~] := (d[~\mathsf A, \mathsf B~])^2 = (x[~\mathsf B~] - x[~\mathsf A~])^2 + (y[~\mathsf B~] - y[~\mathsf A~])^2 + (z[~\mathsf B~] - z[~\mathsf A~])^2,$$

entonces tal asignación de coordenadas se denomina "coordenadas cartesianas (del espacio euclidiano tridimensional)".

Por otro lado, en el espacio de Minkowski, la cantidad invariante correspondiente se define como el cuadrado del intervalo de espacio-tiempo$s^2=x^2+y^2+z^2 - c^2 t^2$

Bueno, esto (o tal vez alguna variante que involucre ciertas diferencias entre los valores de las coordenadas) puede tomarse como una definición, en la medida en que el espacio de Minkowski se basa en consideraciones de relaciones algebraicas entre ciertas tuplas de coordenadas, en lugar de relaciones geométricas. En consecuencia, podemos preguntar acerca de las interpretaciones de la cantidad "$s^2$" en términos de geometría y física.

Pregunta: ¿Existe una interpretación geométrica correspondiente?

Seguro:

• un valor positivo de$s^2$(entre dos eventos adecuados distintos bajo consideración, digamos$\mathsf A$y$\mathsf B$) se interpreta en términos de distancia entre dos participantes donde uno había tomado parte en el evento$\mathsf A$y el otro había tomado parte en el evento$\mathsf B$; específicamente como el cuadrado de la distancia mínima (o en caso de que no exista un mínimo, el ínfimo de todas las distancias ) entre todos esos pares de participantes;

• un valor negativo$s^2$(entre dos eventos adecuados distintos bajo consideración, digamos$\mathsf J$y$\mathsf K$) se interpreta en términos de duración de un participante entre haber participado (primero) en uno de estos dos eventos, y (luego) en el otro; específicamente como ("$(-1)~c^2$"veces) el cuadrado de la duración máxima (o en caso de no existir un máximo, el supremo de todas las duraciones ) entre todos esos participantes;

• un valor cero$s^2$(entre dos eventos adecuados distintos bajo consideración, digamos$\mathsf P$y$\mathsf Q$) se interpreta como el " frente de señal " de un evento que ha alcanzado al otro evento, y

• para cualquier evento:$s^2[~\mathsf A, \mathsf A~] = 0$, también.

En segundo lugar, ¿por qué llaman intervalo a esta cantidad?

La palabra " intervalo " obviamente está relacionada con "separación (espacial o temporal)". Aparentemente, las personas que aplicaron este nombre a la cantidad$s^2$(en lugar de en lugar de la cantidad "$\text{sgn}[~s^2~]~\sqrt{\text{sgn}[~s^2~]~s^2}$") no estaban particularmente molestos por$s^2$refiriéndose a cuadrados de valores de distancia o duración.