¿Por qué la temperatura está bajando cuando el universo se está expandiendo?

En términos generales no es posible afirmar si la energía se conserva en la Relatividad General (GR). Hay varios puntos sutiles sobre la definición de la energía del campo gravitacional y cómo esto podría introducir un concepto de energía total (incluida la energía gravitatoria), sin embargo, aquí discutiré solo la energía del contenido de la materia.

En algunos casos se puede demostrar que la energía total del contenido de materia se conserva. El tensor de momento de energía total (EMT)$T_{\mu\nu}$debe satisfacer

$$\nabla_\mu{}T^\mu{}_\nu = 0.$$ Estas condiciones provienen de las identidades de Bianchi junto con las ecuaciones de Einstein. Dado algún campo vectorial temporal $v^\mu$es posible definir el flujo de cantidad de energía a través de la foliación definida por $v^\mu$como $P^\mu = T^{\mu\nu}v_\nu$(No todos los campos vectoriales temporales definen una foliación global, sin embargo, ignoraré este punto aquí).

El campo vectorial$P^\mu$tiene su divergencia dada por

$$\nabla_\mu{}P^\mu = \nabla_\mu{}T^{\mu\nu}v_\nu + T^{\mu\nu}\nabla_\mu{}v_\nu = T^{\mu\nu}\nabla_\mu{}v_\nu = T^{\mu\nu}\nabla_{(\mu}{}v_{\nu)},$$ donde los paréntesis representan la parte simétrica y la última igualdad proviene de la propiedad simétrica de la EMT. Si por alguna razón $\nabla_\mu{}P^\mu = 0$, entonces el teorema de Stoke (más algunas condiciones sobre la variedad o sobre la EMT en el infinito) garantiza que la energía total se conserva, es decir, $$\left.\int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}P^\nu{}v_\nu\right\vert_{t_1} = \left.\int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}P^\nu{}v_\nu\right\vert_{t_2},$$ dónde $\gamma$es el determinante de la métrica proyectada sobre la hipersuperficie espacial definida por $v^\nu$y $t_1, t_2$son dos etiquetas que definen dos hipersuperficies diferentes.

Si$v_\mu$es un campo vectorial Killing que satisface

$$\mathcal{L}_v g_{\mu\nu} = n^\alpha\nabla_\alpha{}g_{\mu\nu} + 2\nabla_{(\mu}v_{\nu)} = 2\nabla_{(\mu}v_{\nu)} = 0,$$ donde usamos la derivada covariante compatible con $g_{\mu\nu}$. Esto muestra que, si hay un campo de muerte similar al tiempo, entonces la energía total se conserva; sin embargo, lo contrario no es cierto, es decir, la siguiente afirmación no es verdadera : si se conserva el momento de la energía total, entonces hay un campo de muerte similar al tiempo.

En nuestro modelo cosmológico actual, el universo (en orden cero) se describe mediante una métrica de Friedmann-Lamaître-Robertson-Walker (FLRW) que no posee un vector Killing similar al tiempo. Esta es la razón por la que la energía de un fluido similar a la radiación no se conserva, del cálculo directo de la divergencia EMT en un modelo FLRW tenemos

$$\dot{\rho} + 3H(\rho+p) = 0,$$ dónde $H=\dot{a}/a$es la función de Hubble, $a$el factor de escala, $\dot{f} = v^\mu\partial_\mu{}f$la derivada temporal de una función escalar $f$, la EMT está dada por $T_{\mu\nu} = \rho{}v_\mu{}v_\nu + p\gamma_{\mu\nu}$, $v_\mu$es el campo que representa el flujo de fluido, $\gamma_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + v_{\mu}v_{\nu}$es el proyector espacial, $\rho$la densidad de energía en este marco y $p$la presión isotrópica también en este marco. Para una ecuación de estado constante ( $w = p/\rho$) tenemos $$\rho = \rho_0\left(\frac{a_0}{a}\right)^{3(1+w)},$$ dónde $a_0$y $\rho_0$son el factor de escala y la densidad de energía calculados en una sección espacial definida por $t_0$.

Del cálculo directo de la energía total (en este marco) tenemos

$$\int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}P^\nu{}v_\nu = \int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma}\rho = \int\mathrm{d}^3x\sqrt{\gamma_0}\rho_0\left(\frac{a_0}{a}\right)^{3w},$$ donde usamos eso $\dot{\sqrt{\gamma}} = 3H\sqrt{\gamma}$y por lo tanto, $\sqrt{\gamma} = \sqrt{\gamma_0}(a_0/a)^3$(esto es cierto en FLRW, en general $3H$se sustituye por el factor de expansión $\Theta \equiv \nabla_\mu{}v^\mu$). Esto muestra que, para la radiación ( $w=1/3$) la energía disminuye con $\propto a^{-1}$cuando el universo se expande. Tenga en cuenta también que la presencia de energía oscura $w<-1/3$hacer que la energía total aumente, por ejemplo, la constante cosmológica tiene $w=-1$entonces la energía va como $a^3$.

Para el caso especial de polvo$w=0$la energía total se conserva . Este es un ejemplo de lo que dije antes, podemos tener una conservación de energía total sin un campo de matanza, en este caso esto sucede porque$T_{\mu\nu} = \rho{}v_\mu{}v_\nu$es ortogonal a$\nabla_\mu{}v_\nu = \mathcal{K}_{\mu\nu} = H\gamma_{\mu\nu}$, dónde$\mathcal{K}_{\mu\nu}$es la curvatura extrínseca que en FLRW es proporcional a$\gamma_{\mu\nu}$.

Finalmente, solo podemos tener un equilibrio termodinámico cuando tenemos un campo de muerte similar al tiempo, con la excepción de que para la radiación solo necesitamos un campo de muerte conforme para lograr el equilibrio (ver "Teoría cinética en el universo en expansión" Bernstein 1988). En un universo FLRW tenemos un campo de muerte conforme temporal y es por eso que tenemos una temperatura bien definida para la radiación, usando la distribución de Bose-Einstein (suponiendo equilibrio cinético) obtenemos que$T \propto a^{-1}$, por eso, desde el punto de vista termodinámico, la energía total no se conserva, la temperatura desciende cuando el universo se expande.

Aquí está la respuesta que Ludwig Boltzmann dio en 1884:

Por razones de extensibilidad, la densidad de energía de la radiación electromagnética se puede escribir como$U(T,V)=u(T)V$. Además, sabemos por la electrodinámica clásica que la presión es un tercio de la densidad de energía,$p(T)=u(T)/3$, que, por ejemplo, se sigue trazando el tensor de tensión de Maxwell. Si suponemos que el potencial químico se anula,$\mu=0$(eso es difícil de adivinar: Boltzmann ni siquiera conocía los fotones ...), entonces (por la ecuación de Euler) la energía está dada$U=TS-PV$, y por lo tanto

$$S=\frac{U+PV}{T}=\frac{4}{3}V\frac{u(T)}{T} \ .$$ A continuación, del diferencial ${\rm d}F=-S\,{\rm d}T-P\,{\rm d}V$sigue la relación de Maxwell $$\Big(\frac{\partial P}{\partial T}\Big)_V=\Big(\frac{\partial S}{\partial V}\Big)_T \ ,$$ e insertando lo que sabemos sobre $P(T)$y $S(T,V)$lleva a $$\frac{1}{3}u'(T) = \Big(\frac{\partial P}{\partial T}\Big)_V=\Big(\frac{\partial S}{\partial V}\Big)_T = \frac{4}{3}\,\frac{u(T)}{T} \ .$$ Esta ecuación diferencial para $u(T)$se resuelve fácilmente y conduce a $u(T)=aT^4$, con alguna constante $a$—y así Boltzmann derivó la ley previamente descubierta experimentalmente por Stefan.

Pero ahora también conocemos la entropía:$S(T,V)=\frac{4}{3}aVT^3$.

Remate: Durante la expansión adiabática del universo, la entropía permanece constante. Por lo tanto, el producto$VT^3$debe permanecer constante y, por lo tanto, la temperatura de la radiación cósmica de fondo disminuye inversamente con el factor de escala del universo.