notación de doble línea (tres y cuatro vértices de gluones): ¿cómo es esto una simplificación?

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notación de doble línea (tres y cuatro vértices de gluones): ¿cómo es esto una simplificación?

gluones
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Esto está estrechamente relacionado con mi publicación anterior Notación de doble línea - propagador de gluones

Estoy tratando de entender los vértices de doble línea para el gluón en el caso de un $U(N)$ grupo calibre. Normalmente, los factores de vértice vienen dados por:

T h r mi mi \to gramo F_{b C}^{a} [h^{m v} (k - pag)^{ρ} + h^{v ρ} (pag - q)^{v} + h^{ρ m} (q - k)^{v}] F o tu r \to - i {gramo}^{2} [F_{b mi}^{a} F_{d mi}^{C} (h^{m ρ} h^{v σ} - h^{m σ} h^{v ρ}) + F_{C mi}^{a} F_{d mi}^{b} (h^{m v} h^{ρ σ} - h^{m σ} h^{v ρ}) + F_{d mi}^{a} F_{C mi}^{b} (h^{m v} h^{ρ σ} - h^{m ρ} h^{v σ})]

$\mathrm{Three} \ \to \ g f^{a}_{\ bc} \left[ h^{\mu \nu} ( k - p )^{\rho} + h^{\nu \rho} ( p - q )^{\nu} + h^{\rho \mu} ( q - k )^{\nu} \right] \\ \mathrm{Four}\ \ \to \ - i g^{2} \left[ f^{a}_{\ be}\ f^{c}_{\ de} \left( h^{\mu \rho} h^{\nu \sigma} - h^{\mu \sigma} h^{\nu \rho} \right) + f^{a}_{\ ce}\ f^{b}_{\ de} \left( h^{\mu \nu} h^{\rho \sigma} - h^{\mu \sigma} h^{\nu \rho} \right) + f^{a}_{\ de}\ f^{b}_{\ ce} \left( h^{\mu \nu} h^{\rho \sigma} - h^{\mu \rho} h^{\nu \sigma} \right) \right]$

Dado que el grupo de indicadores es $U(N)$ , si escribes los índices de grupo en la forma $a = (\bar{j}, k)$ , entonces las constantes de estructura van a estar dadas por

F_{(\bar{j}, k) (\bar{pag}, q)}^{(\bar{metro}, norte)} = i (d_{j q} d_{k norte} d_{pag metro} - d_{j metro} d_{k pag} d_{q norte})

$f^{( \bar{m}, n )}_{ ( \bar{j},k )(\bar{p},q) } = i \big( \delta_{jq} \delta_{kn} \delta_{pm} - \delta_{jm} \delta_{kp} \delta_{qn} \big)$ Esto inspira el uso de la notación de doble línea.

Sin embargo, según tengo entendido, el factor de tres vértices ahora tiene DOS piezas con $\delta\delta\delta$ 's, lo que significa que necesito considerar dos diagramas de doble línea para representar solo un diagrama ordinario de Feynman de tres gluones.

Y además los factores $ff$ producir seis combinaciones de $\delta \delta \delta \delta$ 's, ¿lo que significaría que necesito 6 diagramas de doble línea para representar solo un diagrama ordinario de feynman de cuatro gluones?

Creo que mi comprensión de esto es correcta (por favor, llámame si no lo es).

Mi pregunta es; ¿Cómo es esto una simplificación en absoluto? Ahora, en lugar de mis dos diagramas originales, ¿tengo 8 que estoy mirando? Me parece que la notación de doble línea está complicando más el problema en lugar de ayudar a simplificarlo. ¿Cual es el punto de esto?

logan m

Probablemente algunas personas usen esto para cálculos reales, pero personalmente, lo único para lo que realmente uso la notación de doble línea es para el conteo de potencia en N. Los bucles dan rastros sobre los índices de color, por lo que es más simple hacer el conteo de potencia si cada bucle cuenta el mismo en lugar de tener que trabajar con la estructura de índice del gluón. En particular, puede concluir que muchos diagramas (en particular, los no planos) pueden ignorarse en N grande.

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notación de doble línea (tres y cuatro vértices de gluones): ¿cómo es esto una simplificación?

Probablemente algunas personas usen esto para cálculos reales, pero personalmente, lo único para lo que realmente uso la notación de doble línea es para el conteo de potencia en N. Los bucles dan rastros sobre los índices de color, por lo que es más simple hacer el conteo de potencia si cada bucle cuenta el mismo en lugar de tener que trabajar con la estructura de índice del gluón. En particular, puede concluir que muchos diagramas (en particular, los no planos) pueden ignorarse en N grande.

flippiefanus · Answer 1

Primero, probablemente sea útil señalar que la notación de doble línea no solo afecta a los propagadores, sino también a los vértices. En las reglas convencionales de Feynman, estos vértices que representan el acoplamiento del campo de calibre con los campos de fermiones, contienen los generadores del grupo de calibre. Lo que hace efectivamente la notación de doble línea es eliminar estos generadores de los vértices y unirlos a los extremos de los propagadores. La regla de vértice resultante ahora es mucho más simple. A continuación, también permite utilizar las propiedades de la $f_{abc}$ 's y los generadores para simplificar la expresión del propagador, reemplazando la contracción de la $f_{abc}$ y los generadores por una combinación de los $\delta$ 's. Aunque el propagador ahora contiene un factor que consiste en una suma de diferentes combinaciones de los $\delta$ 's, no significa que necesite un diagrama diferente. Todo sería parte del cálculo de un diagrama. Además, es mucho más sencillo trabajar con el $\delta$ es que trabajar con el $f_{abc}$ 's y los generadores. Efectivamente, los factores de grupo que uno hubiera calculado al evaluar el diagrama ahora ya se han hecho y solo es cuestión de aplicar las contracciones a través del $\delta$ 's.

usuario121664 · Answer 2

Tienes razón: ahora hay dos y seis diagramas diferentes para la función de tres y cuatro puntos, donde antes solo había uno para cada instancia. Esto se debe a que ahora las permutaciones no cíclicas de los vértices producen diagramas diferentes.

Sin embargo, esto no es realmente una complicación. Limitémonos a hablar de la dispersión de n-gluones a nivel de árbol ya dibujar diagramas planos, es decir, diagramas en los que no se cruzan líneas. Cada línea externa contiene un factor de $T^{a_i}$ , dónde $T^a$ son generadores del álgebra de Lie de $U(n)$ . Dado que cada línea codifica una contracción delta de Kronecker, a medida que recorremos el diagrama vemos que es proporcional a $Tr(T^{a_1}\dots T^{a_n})$ . Por ejemplo:

Por lo tanto, podemos escribir la amplitud de dispersión a nivel de árbol de cuatro gluones como

A_{4} = A [1234] T r (T^{a_{1}} T^{a_{2}} T^{a_{3}} T^{a_{4}}) + permutaciones no cíclicas de {1,2,3,4},

$A_4=A[1234] Tr(T^{a_1}T^{a_2}T^{a_3}T^{a_4})+\text{non-cyclic permutations of {1,2,3,4}},$

dónde $A[1234]$ es la amplitud de los diagramas de Feynman con este ordenamiento de líneas externas, después de haberlo despojado de todos los $U(n)$ álgebra. A menudo se denominan amplitudes ordenadas por colores . Tenga en cuenta que el vértice de cuatro gluones necesario para calcular las amplitudes ordenadas por colores es simplemente $V^{\mu_1 \mu_2\mu_3\mu_4}=\eta^{\mu_1\mu_3}\eta^{\mu_2\mu_4}$ , y solo necesitas calcular uno de estos $A[ijkl]$ obtener todos los demás a partir de permutaciones.

Las amplitudes más complicadas tendrán una estructura similar, aunque es posible que necesite más trazas según los diagramas generales que desee considerar.

En conclusión, aunque tiene razón en que hay más diagramas, generalmente solo necesita uno de ellos para llegar a la respuesta completa, y el álgebra de grupos se soluciona.

Referencias:

Srednicki, cap. 80;
Elvang y Huang , cap. 2.5.

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logan m

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flippiefanus

usuario121664

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